Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y 4/x y=-x+5

Answer 1

Чтобы найти площадь подграфика функции воспользуемся интегрированием. Для начала определим границы интегрирования (найдём точки пересечения графиков):

$\displaystyle y=\frac{4}{x} \, ; \quad y=-x+5\\\\\\\frac{4}{x} =-x+5\quad\quad|\times(x)\\\\\\ 4=-x*x+5x\\\\4=-x^2+5x\\\\x^2-5x+4=0\\\\a=1;\quad b=-5;\quad c=4\\\\a+b+c=0\\\\\\x_1=\frac{c}{a} \,;\quad\quad x_2=1\\\\\\x_1=4$

Теперь, когда мы знаем границы, можно взять интеграл сложной функции.

$\displaystyle \int\limits^4_1 {(-x+5-\frac{4}{x} )} \, dx =\bigg(\frac{-x^2}{2}+5x-4ln(x) \bigg)\Bigg|^4_1=\\\\\\=\bigg(\frac{-16}{2}+20-4ln(4)\bigg)-\bigg(\frac{-1}{2}+5-4ln(1)\bigg)=\\\\\\=\Big(-8+20-4ln(2^2)\Big)- \Big(-0,5+5-4\times 0\Big)=\\\\\\=12-8ln(2)-4,5=7,5-8ln(2)$

ответ:   $\Big(7,5-8ln(2)\Big)$  кв.ед.

(График смотрите во вложение)