Перепишем уравнение z=y*√x-2y^2-x+14y в виде
F(x,y,z)=y*√x-2y^2-x+14y-z - это уравнение поверхности.
Запишем известные формулы для уравнений касательной плоскости и плоскости нормали к поверхности в заданной точке (формулы записаны в частных производных, d - знак частной производной):
Уравнение касательной:
dF/dx*(x-x₀)+dF/dy*(y-y₀)+dF/dz*(z-z₀)=0 (1)
Уравнение нормали:
(x-x₀)/(dF/dx)=(y-y₀)/(dF/dy)=(z-z₀)/(dF/dz) (2)
x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1).
Т.е. все сводится к нахождению частных производных.
1) dF/dx=d(y*√x)/dx - d(2y^2)/dx - dx/dx + d(14y)/dx - dz/dx
dF/dx=y*d(√x)/dx - 0 - 1 + 0 - 0
dF/dx=y*(1/(2*√x)) - 1
dF/dx=y/(2*√x) - 1 (3)
Найдем dF/dx в т. M(1;0;-1). Подставим x=1; y=0; z=-1 в (3):
dF/dx=0/(2*√1)-1 = -1 (4)
2) dF/dy=d(y*√x)/dy - d(2y^2)/dy - dx/dy + d(14y)/dy - dz/dy
dF/dy=(√x)*dy/dy - 2*d(y^2)/dy - 0 + 14*dy/dy - 0
dF/dy=(√x)*1 - 2*2y + 14*1
dF/dy=√x - 4y + 14
Найдем dF/dy в т. M(1;0;-1):
dF/dy=√1 - 4*0 + 14 = 15 (5)
3) dF/dz=d(y*√x)/dz - d(2y^2)/dz - dx/dz + d(14y)/dz - dz/dz
dF/dz=0 - 0 - 0 + 0 - 1= -1 (6)
Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (1):
-1*(x-1)+15*(y-0)-1*(z-(-1))=0
-x+1+15y-z-1=0
-x+15y-z=0 - уравнение касательной.
Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (2):
(x-1)/(-1)=(y-0)/15=(z-(-1))/(-1)
(x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали.
ответ: -x+15y-z=0 - уравнение касательной
(x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):
или
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
Найдем производные 2-го порядка
и составим дискриминант Δ=AC — B² для каждой стационарной точки.
1) Для точки : , Δ=AC—B²=36-144<0. Значит в точке экстремума нет.
2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.
3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144 <0. Экстремума нет.
4) Для точки Р4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28.
5°. ^ Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х, у) при наличии соотношения φ(х,у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа
F(x,y)=f(x,y)+ λφ(x,y),
где λ — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вс функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений
с тремя неизвестными х, у, λ, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
для испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением
.
Именно, функция f(х,y) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(х, у), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.
