Решение: 1) область определения d(y) : x≠2 2) множество значений функции е (х) : 3) проверим является ли функция периодической: y(x)=x^4/(4-2x) y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной. 4) найдем нули функции: у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0 график пересекает оси координат в точке (0; 0) 5) найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума: y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0 (16x³-6x^4)/(4-2x)²=0 16x³-6x^4=0 x³(16-6x)=0 x1=0 x2=8/3 так как на промежутках (-∞; 0) (8/3; ∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает так как на промежутках (0; 2) и (2; 8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает. в точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0 в точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9 6) найдем точки перегиба и промежутки выпуклости: y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0 (24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней. следовательно: так как на промежутке (-∞; 2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз. так как на промежутке (2; ☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх. 7) найдем асимптоты : а) вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва: lim (при х-> 2-0) (x^4/(4-2x)=+∞ lim (при х-> 2+0) (x^4/(4-2x)=-∞ так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные y=kx+b k=lim (при х-> ∞)(y(x)/x)= lim (при х-> ∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет. 8) все, строй график
Чтобы вычислить y'(-3), мы должны найти производную функции y(x) по переменной x и затем подставить x = -3.
Для этого мы будем использовать правило дифференцирования для суммы, произведения и частного функций.
1. Начнем с функции y(x) = x^2 + 3x / (x + 4).
2. Разложим функцию на две части: первую часть функции (x^2 + 3x) и вторую часть функции (x + 4).
3. Вычислим производную первой части функции по переменной x.
- Производная функции x^2 по x равна 2x (это мы можем увидеть, если вспомним правило дифференцирования функции x^n, где n - любое число).
- Производная функции 3x по x равна 3 (это мы можем увидеть, так как константа 3 не зависит от переменной x).
- Чтобы вычислить производную суммы функций, мы просто складываем производные по отдельности, поэтому производная первой части функции будет равна 2x + 3.
4. Вычислим производную второй части функции по переменной x.
- Производная функции x по x равна 1 (это мы можем увидеть, так как переменная x не зависит от самой себя).
- Производная функции 4 (константа) по x равна 0 (это мы можем увидеть, так как константа не зависит от переменной x).
- Чтобы вычислить производную частного функций, мы используем правило дифференцирования квоциента функций: (f'g - fg') / (g^2), где f' - производная первой функции, g' - производная второй функции, а g - сама вторая функция.
- Подставляя значения производных, производная второй части функции будет равна (1*(x + 4) - (x + 4)*1) / (x + 4)^2 = 0 / (x + 4)^2 = 0.
5. Чтобы вычислить значение y'(-3), мы заменяем x на -3 в обоих производных, которые мы нашли.
- Заменяя x на -3 в первой производной, мы получаем (2*(-3) + 3) = -6 + 3 = -3.
- Заменяя x на -3 во второй производной, мы получаем 0.
6. Таким образом, y'(-3) = -3 + 0 = -3.
