Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Дано:
а1=48
а2=44
Sn=300
Найти n ?
Sn=(a1+an)*n/2
an=a1+d*(n-1)
d=a2-a1=44-48=-4
an=48+(-4)*(n-1)
an=48-4n+4=52-4n
Подставим значение a1, an и S=300 в формулу Sn
300=[48+(52-4n)]*n/2
300*2=(48+52-4n)*n
600=(100-4n)*n
600=100n-4n^2
4n^2-100n+600=0 сократим, разделив каждый член уравнения на 4
n^2-25n+150=0
n1,2=(25+-D)/2*1
D=√(25²-4*1*150)=√(625-600)=√25=5
n1,2=(25+-5)/2
n1=(25+5)/2=30/2=15
n2=(25-5)/2=20/2=10
Проверим каждое из членов n1 и n2, подставив в формулу Sn=300
S15=[48+(52-4*15)]*15/2
300=[48+(52-60)]*7,5
300=(48-8)*7,5
300=40*7,5
300=300 - соответствует условию задачи
S10=[48+(52-4*10)]*10/2
300=[48+(52-40)]*5
300=(48+12)*5
300=60*5
300=300 -соответствует условию задачи
ответ: в этой задаче имеет место два ответа число n1=15 и n2=10