Question

Решите уравнение cos(3п/2 -2х)=sqrt 2 sin x. б)найти корни принадлежащие промежутку [3п; 9п/2]

Answer 1

 [3п;9п/2] - это I, III и IV четверти.

$\cos\left(\frac{3\pi}2 -2x\right)=\sqrt 2\sin x\\\cos\left(\frac{3\pi}2-\alpha\right)=-\sin\alpha\\-\sin2x=\sqrt2\sin x\\-2\sin x\cos x=\sqrt2\sin x$

Решение cos x = 0 в данном случае не подходит, т.к. в таком случае и sin x = 0, а такого быть не может.

Здесь возможно решение $\sin x = 0$. Тогда

$x=\pi n\\x\in\left[3\pi;\frac{9\pi}2\right]\Rightarrow\quad3\pi\leq\pi n\leq\frac{9\pi}2\\3\leq n\leq\frac92\Righarrow n=3,\quad n=4\\x=3\pi,\quad x=4\pi$

Если же $\sin x\neq0$, то можно поделить обе части выражения на sin x:

$-2\cos x=\sqrt2\\\cos x=-\frac{\sqrt2}2\\x=\frac{3\pi}4+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}4+2\pi n\\$

Первый корень лежит во второй четверти значит, нам не походит.

$x\in\left[3\pi,\frac{9\pi}2\right]\Rightarrow\\ 3\pi\leq\frac{5\pi}4+2\pi n\leq\frac{9\pi}2\\ \frac{7\pi}4\leq2\pi n\leq\frac{13\pi}4\\ \frac{7\pi}8\leq\pi n\leq\frac{13\pi}8\\ \frac78\leq n\leq\frac{13}8\\n=1\\x=\frac{5\pi}4+2\pi=\frac{13\pi}4$

Итого на отрезке [3п;9п/2] уравнение имеет 3 решения:

$3\pi,\quad 4\pi,\quad\frac{13\pi}4$