Question

Вычислить cosπ/11*cos2π/11*cos3π/11*cos4π/11*cos5π/11

Answer 1

Давайте рассмотрим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с разложения углов-аргументов внутри функции косинуса с помощью формулы двойного аргумента:
cos(2θ) = 2cos²θ – 1
Например, cos(2π/11) = 2cos²(π/11) – 1

2. Применим эту формулу к каждому угловому аргументу:
a = π/11
b = 2π/11
c = 3π/11
d = 4π/11
e = 5π/11
Получим:
cos(a) = 2cos²(a/2) – 1
cos(b) = 2cos²(b/2) – 1
cos(c) = 2cos²(c/2) – 1
cos(d) = 2cos²(d/2) – 1
cos(e) = 2cos²(e/2) – 1

3. Умножим все полученные уравнения и разложим:
cos(a)*cos(b)*cos(c)*cos(d)*cos(e) = (2cos²(a/2) – 1) * (2cos²(b/2) – 1) * (2cos²(c/2) – 1) * (2cos²(d/2) – 1) * (2cos²(e/2) – 1)

4. Используем формулу косинуса в функции тригонометрического исчисления:
cos(2θ) = 1 – 2sin²θ
cos²θ = (1 – 2sin²θ)/2

5. Заменим формулу для косинуса в разложении, полученной в пункте 4:
cos²(a/2) = (1 – 2sin²(a/2))/2
cos²(b/2) = (1 – 2sin²(b/2))/2
cos²(c/2) = (1 – 2sin²(c/2))/2
cos²(d/2) = (1 – 2sin²(d/2))/2
cos²(e/2) = (1 – 2sin²(e/2))/2

6. Подставим формулы из пункта 5 в уравнение из пункта 3:
cos(a)*cos(b)*cos(c)*cos(d)*cos(e) = ((2*(1 – 2sin²(a/2))/2) – 1) * ((2*(1 – 2sin²(b/2))/2) – 1) * ((2*(1 – 2sin²(c/2))/2) – 1) * ((2*(1 – 2sin²(d/2))/2) – 1) * ((2*(1 – 2sin²(e/2))/2) – 1)

7. Упростим выражение:
cos(a)*cos(b)*cos(c)*cos(d)*cos(e) = (1 – 2sin²(a/2)) * (1 – 2sin²(b/2)) * (1 – 2sin²(c/2)) * (1 – 2sin²(d/2)) * (1 – 2sin²(e/2))

8. Теперь, чтобы упростить это выражение еще больше, заменим a/2, b/2, c/2, d/2 и e/2 соответственно и раскроем скобки:
cos(a)*cos(b)*cos(c)*cos(d)*cos(e) = (1 – 2sin²(π/22)) * (1 – 2sin²(π/11)) * (1 – 2sin²(3π/22)) * (1 – 2sin²(2π/11)) * (1 – 2sin²(5π/22))

9. Конечно, мы могли бы продолжать сокращать этот результат с использованием формул синуса и косинуса для двойного аргумента, но полученное уже уравнение будет достаточно сложным, особенно при попытке выполнить расчеты вручную.