Question

Имея в виду табличные интегралы: выведем ещё один: учтём, что: тогда: итак: возьмём интеграл: возьмём интеграл: проверим: возьмём интеграл: проверим: возьмём интеграл: проверим: возьмём интеграл: проверим: з а д а н и е: найти неопределённый (обычный) интеграл и проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):

Answer 1

$1a). \ \ \int d(\arcsin x)=\arcsin x+C\\\\ 1b). \ \ \int d|x|=|x|+C\\\\ 1c). \ \ \int d\ln \arctan x=\ln (\arctan x)+C$

$2a). \ \ \int (8x^3-12(2-x)^5)dx=\int 8x^3dx-\int 12(2-x)^5dx=\\\\ =8\int x^3dx+12\int(2-x)^5d(2-x)=8\cdot \frac{x^4}{4}+ \frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\\\ =2x^4+2(2-x)^6+C$

Проверка:

$(2x^4+2(2-x)^6)'=8x^3+2\cdot6\cdot(-1)\cdot(2-x)^5\cdot=8x^3-12(2-x)^5$

$2b). \ \ \int(28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37})dx= \\\\ \\\\ = \int28(37-x)^{111}dx-\int19(3+x)^{37}dx= \\\\ =-28\int(37-x)^{111}d(37-x)-19\int(3+x)^{37}d(3+x)=\\\\=\frac{-28(37-x)^{112}}{112}- \frac{19(3+x)^{38}}{38}+C=\\\\=-\frac{(37-x)^{112}}{4}- \frac{(3+x)^{38}}{2}+C=\\\\=-\frac{1}{4}(37-x)^{112}-\frac{1}{2}(3+x)^{38}+C$

Проверка:

$(-\frac{1}{4}(37-x)^{112}-\frac{1}{2}(3+x)^{38})'=\\\\=-\frac{1}{4}((37-x)^{112}})'- \frac{1}{2}((3+x)^{38})'=\\\\=-\frac{1}{4}\cdot 112\cdot(-1)\cdot(37-x)^{111}- \frac{1}{2}\cdot38\cdot1\cdot(3+x)^{37}=\\\\ =28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37}$

$2c). \ \ \int \frac{6dx}{(x-12)^3} =6\int(x-12)^{-3}d(x-12)=6\cdot \frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- \frac{3}{(x-12)^2} +C$

Проверка:

$(- \frac{3}{(x-12)^2} )'=-3\cdot((x-12)^{-2})'=-3\cdot(-2)\cdot(x-12)^{-3}= \frac{6}{(x-12)^3}$

$2d). \ \ \int \frac{12dx}{(19-x)^7}=12\int (19-x)^{-7}dx=\\\\=-12\int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12\cdot \frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= \frac{2}{(19-x)^6}+C$

Проверка:

$( \frac{2}{(19-x)^6})'=2\cdot((19-x)^{-6})'=2\cdot(-6)(-1)\cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= \frac{12}{(19-x)^7}$

$3a). \ \ \int \frac{3dx}{9-2x} =3\int \frac{dx}{9-2x} =- \frac{3}{2} \int \frac{d(9-2x)}{9-2x}=- \frac{3}{2}\ln|9-2x|+C$

Проверка:

$- \frac{3}{2}(\ln|9-2x|)'=- \frac{3}{2}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{9-2x}= \frac{3}{9-2x}$

$3b). \ \ \int \frac{2dx}{3x-7}=2\int \frac{dx}{3x-7}= \frac{2}{3} \int \frac{d(3x-7)}{3x-7}= \frac{2}{3}\ln|3x-7|+C$

Проверка:

$( \frac{2}{3}\ln|3x-7|)'= \frac{2}{3}\cdot3\cdot \frac{1}{3x-7}= \frac{2}{3x-7}$

$4a). \ \ \int \frac{4xdx}{2x^2-5}= \frac{4}{2}\int \frac{2xdx}{2x^2-5}=2\int \frac{dx^2}{2x^2-5}= \frac{2}{2}\int \frac{d2x^2}{2x^2-5} =\int \frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\\\ =\ln |2x^2-5|+C$

Проверка:

$(\ln |2x^2-5|)'= \frac{1}{2x^2-5} \cdot 4x= \frac{4x}{2x^2-5}$

$4b). \ \ \int \frac{11xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{2}\int \frac{2xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{14} \int \frac{d7x^2}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\int \frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\ln |7x^2+6|+C$

Проверка:

$( \frac{11}{14}\ln|7x^2+6| )'= \frac{11}{14}\cdot(\ln|7x^2+6|)'\cdot(7x^2+6)'= \frac{11}{14}\cdot14x\cdot \frac{1}{7x^2+6}=\\\\ = \frac{11x}{7x^2+6}$

$4c). \ \ \int \frac{3xdx}{(3x)^2-2}= \frac{3}{2}\int \frac{2xdx}{9x^2-2}= \frac{3}{2} \int \frac{dx^2}{9x^2-2}= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{9}\int \frac{d9x^2}{9x^2-2}=\\\\ = \frac{1}{6}\int \frac{d(9x^2-2)}{9x^2-2}= \frac{1}{6}\ln|9x^2-2|+C$

Проверка:

$( \frac{1}{6}\ln|9x^2-x|)'= \frac{1}{6}(\ln|9x^2-2|)'\cdot(9x^2-2)'= \frac{1}{6}\cdot18x\cdot \frac{1}{9x^2-2}= \frac{3x}{ 9x^2-2}$