Для начала, давайте приведем тождество к единому знаменателю. У нас есть дробь с косинусами и котангенсами, поэтому общим знаменателем может выступать sin^2a. Распишем это тождество:
cos^2a / (1 - cos^2a) = ctg^2a
Мы знаем, что ctg(a) = 1 / tan(a). Тогда, через тангенс:
cos^2a / (1 - cos^2a) = (1/tan(a))^2
Теперь, нужно записать тангенс через синус и косинус, используя соотношение tan(a) = sin(a) / cos(a):
cos^2a / (1 - cos^2a) = (1/(sin(a)/cos(a)))^2
Преобразуем это выражение, возводя все в квадрат:
cos^2a / (1 - cos^2a) = (cos(a)/sin(a))^2
Мы знаем, что (a/b)^2 = a^2 / b^2. Применим это соотношение в нашем тождестве:
cos^2a / (1 - cos^2a) = cos^2a / sin^2a
Теперь, докажем, что выражения в числителе и знаменателе равны. Мы знаем, что cos^2a + sin^2a = 1 по тригонометрической теореме Пифагора, поэтому можем заменить sin^2a в знаменателе на (1 - cos^2a):
cos^2a / (1 - cos^2a) = cos^2a / (1 - cos^2a)
Таким образом, мы доказали, что исходное тождество cos^2a / (1 - cos^2a) = ctg^2a верно.
косинус на синус даст катангенс:
ctg²a=ctg²a