Question

Доказать что при четное значение n вырадения n^2(n^2-4)(n^2-16)делится на 23040

Answer 1

$n^2(n^2-4)(n^2-16)=n^2(n^4-20n^2+64)=n^6-20n^4+64n^2;$
$\frac{n^6-20n^4+64n^2}{23040}$, если $n_{mod}2=0$ (остаток при делении числа n на 2 равен 0 ($\frac{50}{2}=25$, остаток 0; $\frac{32}{2}=16$, остаток 0)).

1. Возьмём в качестве n число 2:
$\frac{2^6-20*2^4+64*2^2}{23040}=\frac{64-20*16+64*4}{23040}=\frac{64-320+256}{23040}=\frac{0}{23040}=0;$
1.1. Возьмём в качестве n число –2:
$\frac{(-2)^6-20*(-2)^4+64*(-2)^2}{23040}=\frac{64-20*16+64*4}{23040}=\frac{64-320+256}{23040}=\frac{0}{23040}=0$ – поскольку степени имеют чётный показатель, последующие вычисления выражения остались неизменными. 
2. Возьмём в качестве n число 4:
$\frac{4^6-20*4^4+64*4^2}{23040}=\frac{4^2(4^4*1-20*4^2+64*1)}{23040}=\frac{4^2(256-320+64)}{23040}=\frac{4^2*0}{23040}=\\\frac{0}{23040}=0;$
2.1. Возьмём в качестве n число –4: 
$\frac{(-4)^6-20*(-4)^4+64*(-4)^2}{23040}=\frac{(-4)^2((-4)^4*1-20*(-4)^2+64*1)}{23040}=\\\frac{(-4)^2(256-320+64)}{23040}=\frac{(-4)^2*0}{23040}=\frac{0}{23040}$ – поскольку степени имеют чётный показатель, последующие вычисления выражения остались неизменными. 

Думаю, я всё доказал.