Question

Завтра экзамен, ! найти частное решение дифференциального уравнения , при заданных начальных условиях. y"-2y'-3y=e^4x; у(0)=0 , y'(0)=0

Answer 1

1) y''-2y'-3y=0 ⇒ β²-2β-3=0 ⇒β=-1,β=3
ФСР: $\Phi .C.P.:\ e^{-x}; e^{3x}$
$y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}$
$y'(x)=c'_1e^{-x}-c_1e^{-x}+c'_2e^{3x}+3c_2e^{3x}.$
Полагаем, что $c'_1e^{-x}+c'_2e^{3x}=0$, тогда
$y'(x)=-c_1e^{-x}+3c_2e^{3x}\\ y''(x)=-c'_1e^{-x}+c_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}+9c_2e^{3x}.$
Подставим выражения для y, y' и y'' в исходное уравнение:
$(-c'_1e^{-x}+c_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}+9c_2e^{3x})-2(-c_1e^{-x}+3c_2e^{3x})-\\ -3(c_1e^{-x}+c_2e^{3x})=e^{4x}$
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, получим:
$-c'_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}=e^{4x}$
Решаем систему уравнений:
$\begin{cases} c'_1e^{-x}+c'_2e^{3x}=0 \\ -c'_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}=e^{4x} \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin{cases}4c'_2e^{3x}=e^{4x} \\ c'_1=-c'_2e^{4x} \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \\ \begin{cases}c'_2= \frac{1}{4} e^x \\ c'_1=-\frac{1}{4}e^{5x} \end{cases} =\ \textgreater \ \begin{cases}c_2= \frac{1}{4} e^x + \acute {C_2} \\ c_1=-\frac{1}{20}e^{5x}+ \acute {C_1} \end{cases}$
Полученные для с1 и с2 выражения подставляем в формулу решения:
$y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}=(-\frac{1}{20}e^{5x}+ \acute {C_1})e^{-x}+(\frac{1}{4} e^x + \acute {C_2})e^{3x}=\\ = \acute {C_1}e^{-x}+ \acute {C_2}e^{3x}+\frac{1}{5}e^{4x}.$
Итак, найдено общее решение исходного уравнения:
$y=\acute {C_1}e^{-x}+ \acute {C_2}e^{3x}+\frac{1}{5}e^{4x}.$
Из условий у(0)=0 и у'(0)=0 найдем С1 и С2:
$y(0)=0\ =\ \textgreater \ \acute {C_1} + \acute {C_2}+\frac{1}{5}=0.\\ y'=(\acute {C_1}e^{-x}+ \acute {C_2}e^{3x}+\frac{1}{5}e^{4x})'=-\acute {C_1}e^{-x}+ 3\acute {C_2}e^{3x}+\frac{4}{5}e^{4x}.\\ y'(0)=0\ =\ \textgreater \ -\acute {C_1}}+ 3\acute {C_2}+\frac{4}{5}=0.$
Решаем последнюю систему:
$\begin{cases} \acute {C_1} + \acute {C_2}=-\frac{1}{5} \\ \acute {C_1}}- 3\acute {C_2}=\frac{4}{5} \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin{cases} 4 \acute {C_2}=-1 \\ \acute {C_1}}=-\acute {C_2}-\frac{1}{5} \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin{cases} \acute {C_2}=-\frac{1}{4} \\ \acute {C_1}}=\frac{1}{20} \end{cases}$
Найденные числа подставим в полученное общее решение:
$y=\frac{1}{20} e^{-x}-\frac{1}{4}e^{3x}+\frac{1}{5} e^{4x}$ - это ответ!