Question

Решить уравнения sinx-2cosx=2 5sin5x-0,5cos5x=1/2 √3sinx-cosx=1

Answer 1

Уравнение вида
asinx+bcosx=c
Есть несколько решения данных уравнений^
1) Введение вс угла.
Уравнение делим на √(a²+b²)
(a/√(a²+b²)) ·sinx+(b√(a²+b²))cosx=c√(a²+b²).
Так как
(a/√(a²+b²))²+(b√(a²+b²))=1, то(a√(a²+b²))= sinω   (b√(a²+b²)) =cosω
или наоборот и тогда слева формула косинуса разности или синуса суммы угла х и Ф.
2) формулы двойного угла:
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)
Уравнение сводится к квадратному
3) Возведение уравнения в квадрат.

Решаем

a)sinx-2cosx=2
sin²x-4sinxcosx+4cos²x=4
Заменим
1=sin²x+cos²x;  4=4sin²x+4cos²x.
Получаем уравнение:
sin²x-4sinxcosx+4cos²x=4sin²x+4cos²x;
или
3sin²x+4sinxcox=0
sinx(3sinx+4cosx)=0
sinx=0    или  3sinx+4cosx=0
x=πn, n∈Z    или  tgx=-4/3
                           x=-arctg (4/3)+πk, k∈Z
О т в е т. a) πn, - arctg (4/3)+πk, n, k∈Z

б)5sin5x-0,5cos5x=1/2;
25sin²5x-5sin5xcos5x+0,25cos²x=0,25sin²x+0,25cos²x;
24,75sin²5x-5sin5xcos5x=0
sin5x(24,75sin5x-5cos5x)=0
sin5x=0    или         24,75sin5x-5cos5x=0
5x=πn, n∈Z    или     tg5x=20/99
  x=(π/5)n, n∈Z    или       5x=arctg (20/99)+πk, k∈Z
                                       х=(1/5)arctg (20/99)+(π/5)k, k∈Z
О т в е т. б) (π/5)n,  (1/5)arctg (20/99)+(π/5)k;  n, k∈Z

в)√3sinx-cosx=1;
3sin²x-2√3·sinxcosx+cos²x=sin²x+cos²x
2sin²x-2√3·sinxcosx=0
2sinx(sinx-√3·cosx)=0
sinx=0     или        (sinx-√3·cosx)=0
x=πn, n∈Z    или  tgx=1/√3
                           x=arctg (/√3)+πk, k∈Z
О т в е т. с) πn, (π/6)+πk, n, k∈Z .