Question

Определите значение m при котором один из корней уравнения x^2-10/9x+m^2=0 равен квадрату другого. желательно с подробным объяснением.

Answer 1

X²-10/9*x+m²=0
D=100/81-4m²>0
(10/9-2m)(10/9+m)>0
m=5/9  m=-5/9
m<-5/9 U m>5/9
x1=x2²
{x1+x2=10/9⇒x2²+x2-10/9=0
{x1*x2=m²⇒x2³=m²
9x2²+9x2-10=0
D=81+360=441
x2(1)=(-9-21)/18=-5/3⇒m²=-125/27 нет решения
x2(2)=(-9+21)/18=2/3⇒m²=8/27⇒m=2√6/9

Answer 2

$x^2- \frac{10}{9}x +m^2=0 \\\\ x_1=t \\ x_2=t^2$
По теореме Виета:
$\left \{ {{t + t^2= \frac{10}{9} } \atop {t*t^2=m^2}} \right. \\ \\ \left \{ {{9 t^2+9t-10=0 } \atop {t^3=m^2}} \right$
9t² + 9t - 10 = 0
D = 81 + 360 = 441
$t_1= \frac{-9-21}{18}=- \frac{5}{3} \\ t_2= \frac{-9+21}{18}= \frac{2}{3}$
$(- \frac{5}{3})^3=m^2 \\ (\frac{2}{3})^3=m^2$
m ∈ ∅
$m = (+/-)\sqrt{ \frac{8}{27} }$
Окончательно:
$m=(+/-) \sqrt{ \frac{8}{27} }$