ответ: x∈[-2;4].
Пошаговое объяснение:
1) Составляем выражение для отношения a(n+1)/a(n), где a(n+1) и a(n) - соответственно n+1 - й и n - ный члены ряда: a(n+1)/a(n)=(x-1)*(3*n-1)²/[3*(3*n+2)²].
2) Составляем выражение для модуля этого отношения. Так как (3*n-1)²>0 и 3*(3*n+2)²>0, то /a(n+1)/a(n)/=/x-1/*(3*n-1)²/[3*(3*n+2)²].
3) Находим предел этого выражения при n⇒∞: lim /a(n+1)/a(n)/=1/3*/x-1/, так как lim (3*n-1)²/[3*(3*n+2)²]=1/3.
4) Составляем и решаем неравенство 1/3*/x-1/<1. Оно имеет решение -2<x<4, то есть x∈(-2;4). Поэтому -2<x<4 - интервал сходимости ряда.
5) Остаётся исследовать поведение ряда на концах этого интервала.
а) если x=-2, то ряд принимает вид (-1)^n/[(3*n-1)²]. Так как /(-1)^n/[(3*n-1)²]/=1/[(3*n-1)²]<1/n², а ряд обратных квадратов сходится, то в точке x=-2 данный ряд тоже сходится, причём - абсолютно.
б) если x=4, то ряд принимает вид 1/[(3*n-1)²]. Как только что было показано, данный ряд сходится - значит, данный ряд сходится и в этой точке. Поэтому областью сходимости ряда является интервал x∈[-2;4].
6sin²x-3sinxcosx-5cos²x=2sin²x+2cos²x
6sin²x-3sinxcosx-5cos²x-2sin²x-2cos²x=0
4sin²x-3sinxcosx-7cos²x=0 |:cos²x
4sin²x/cos²x-3sinxcosx/cos²x-7cos²x/cos²x=0
4tg²x-3tgx-7=0
пусть tgx=y
4y²-3y-7=0
D=b²-4ac=(-3)²-4*4*(-7)=9+112=121
y1=(-b+√D)/(2a)=(-(-3)+√121)/(2*4)=(3+11)/8=14/8=7/4=1.75
y2=(-b-√D)/(2a)=(-(-3)-√121)/(2*4)=(3-11)/8=-8/8=-1
tgx=1.75
x=arctg 1.75+πk, k∈Z
tgx=-1
x=arctg (-1)+πk=-π/4+πk, k∈Z
ответ: x=arctg 1.75+πk, x=-π/4+πk, k∈Z