Question

Розв'язати нерівності: 1) x^3-3x^2+x+1≥0; 2) (9x^2-12x+4)^5 (4-3x-x^2)/(x^2+2x-8)(x+3)^11≥0; 3) (x^4-2x^2-8)/(x^2+2x+1)^3; 4) x^2+x+12> 0.

Answer 1

1) x³-3x²+x+1≥0;
при х=1 1³-3·1²+1+1=0.
значит x³-3x²+x+1 раскладывается на множители и и один из множителей (х-1)
Делим  "углом"
_x³-3x²+x+1  | x-1
  x³-x²

  _-2x²+x+1
   -2x²+2x
   
         _-x+1
           -x+1
           
                0 
(х-1)(х²-2х-1)≥0
Решаем методом интервалов
x²-2x-1=0
D=(-2)²-4·1·(-1)=8
x=(2-2√2)/2=1-√2  или  х=(2+2√2)/2=1+√2

__-___[1-√2]___+[1]__-__[1+√2]__+__

О т в е т. [1-√2;1]U[1+√2;+∞).

2) (9x²-12x+4)⁵ (4-3x-x²)/(x²+2x-8)(x+3)¹¹≥0;
Раскладываем на множители:
((3х-2)²)⁵(-х+1)(х+4)/(х+4)(х-2)(х+3)¹¹≥0;
(3х-2)¹⁰(-х+1)/(х-2)(х+3)¹¹≥0;
х≠-4
Решаем методом интервалов:

_+__(-4)_+__(-3)__-___[2/3]_-__[1]_+_(2)__-_

О т в е т. (-∞;-4)U(-4;-3)U{2/3}U[1;2).

3) (x⁴-2x²-8)/(x²+2x+1)³<0;
   (x²+2)(x²-4)/(x+1)⁶<0
   (x²+2)(x-2)(x+2)/(x+1)⁶<0

_+__(-2)_-__(-1)-(2)_+___

О т в е т. (-2;-1)U(-1;-2).

4) x²+x+12>0.
  
Уравнение х²+х+12=0 не имеет корней, так как  D=1-4·12<0
Парабола у=х²+х+12 расположена выше оси ох, неравенство верно  при любом х
О т в е т. (-∞;+∞).