Question

Найдите все пары чисел (a, b), для которых равенство a(cosx - 1) + b²= cos(ax + b²)-1 выполняется при всех значениях х.

Answer 1

Если равенство выполняется для всех x, то оно выполняется и для x=0. Подставив x=0, получим:
a(cos(0)-1)+b^2=cos(a*0+b^2)-1,
b^2+1=cos(b^2)
Левая часть имеет область значений от 1 до бесконечности, а правая - от -1 до 1. Следовательно, обе части равны 1.
То есть b^2+1=1, b=0.
Тогда a(cos(x)-1)=cos(ax)-1
Поставим еще одну точку: x=π. Получим:
a(cos(π)-1)=cos(aπ)-1
cos(aπ)=1-2a
Изобразим эти два графика в системе координат a0y. Получим, что эти графики имеют три точки пересечения: при a=0, a=0.5 и a=1. Проверим каждую из них.
1) a=0
0*(cos(x)-1)=cos(0*x)-1
0=0 - тождество - выполняется для всех x
2) a=0.5
0.5*(cos(x)-1)=cos(0.5*x)-1
cos(x)-1=2cos(x/2)-2
cos(x)-cos(x/2)+1=0
2cos(x/2)^2-1-cos(x/2)+1=0
cos(x/2)*(2cos(x/2)-1)=0
Очевидно, что это равенство не является тождеством, то есть выполняется не для всех x.
3) a=1
1*(cos(x)-1)=cos(1*x)-1
cos(x)-1=cos(x)-1 - тождество - выполняется для всех x.
ответ: (0;0), (1;0).