1). На верхней и нижних полках 8 книг, на нижней полке 15 книг. Сколько книг на верхней полке? Условие неправильное, т.к. в нем книг на двух полках меньше чем на одной. Меняем местами числа в условии: На верхней и нижней полках 15 книг, на нижней полке 8 книг. Сколько книг на верхней полке? Решение: 15 - 8 = 7 (кн.) книг на верхней полке. ответ: 7 книг на верхней полке.
2). В пакете 15 груш, а на тарелке на 8 груш больше. Сколько груш на тарелке? Задача решается сложением: 15+ 8 =23 груши на тарелке. Но по условию должно быть другое выражение для решения и другое действие: вычитание. Меняем слово "больше" на меньше": В пакете 15 груш, а на тарелке на 8 груш меньше. Сколько груш на тарелке? Решение. 15 - 8 = 7 (гр.) груш на тарелке. ответ: 7 груш на тарелке.
A(x^2 + 1/x^2) - (a+1)(x + 1/x) + 5 = 0 1) При a = 0 будет -(x + 1/x) + 5 = 0 -x^2 + 5x - 1 = 0 x^2 - 5x + 1 = 0 D = 25 - 4 = 21 > 0 - уравнение имеет 2 корня, не подходит.
2) При а не = 0 делаем замену x + 1/x = y Заметим, что при x > 0 будет y >= 2; при x < 0 будет y <= -2. Причем y = 2 при x = 1 и y = -2 при x = -1. Тогда y^2 = (x + 1/x)^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 То есть x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2. Подставляем a(y^2 - 2) - (a+1)*y + 5 = ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0
3) Если это уравнение не имеет решений (D < 0), то и исходное тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 < 0 Решаем это неравенство, находим D для него. D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ ( (3 - 2√2)/3 ; (3 + 2√2)/3 )
4) Если у этого уравнения есть корни, но они оба -2 < y < 2, то исходное уравнение тоже не имеет решений. ay^2 - (a+1)*y + (5-2a) = 0 D = (a+1)^2 - 4*a*(5-2a) = a^2 + 2a + 1 - 20a + 8a^2 = 9a^2 - 18a + 1 >= 0 Решаем точно также D1 = 18^2 - 4*9*1 = 324 - 36 = 288 = 2*144 = (12√2)^2 a1 = (18 - 12√2)/18 = (3 - 2√2)/3 a2 = (18 + 12√2)/18 = (3 + 2√2)/3 a ∈ (-oo; (3 - 2√2)/3 ) U ( (3 + 2√2)/3; +oo) Очевидно, что y1 < y2, поэтому нужно решить систему: Распадается на две системы
а) Если a < 0, то есть a < (3 - 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) > 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) < 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) < 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) < 3a - 1 Если a < 0, то 3a - 1 < 0, арифметический корень не может быть отрицательным, поэтому решений нет. б) Если a > 0, то есть a > (3 + 2√2)/3 { 5a+1- √(9a^2-18a+1) < 0 { 1-3a+ √(9a^2-18a+1) > 0 Выделяем корни { √(9a^2-18a+1) > 5a + 1 { √(9a^2-18a+1) > 3a - 1 Если a > 0, то 5a+1 > 3a-1, достаточно решить 1 неравенство. Возводим в квадрат. 9a^2-18a+1 > 25a^2 + 10a + 1 16a^2 + 28a < 0 4a(4a + 7) < 0 a ∈ (-7/4; 0) Но по условию a > 0, поэтому решений опять нет.
2) 240+120=360 листов в пачке