Question

Вгруппе 20 студентов, среди которых 12 отличников. определить вероятность того, что в числе шести наудачу вызванных из этой группы студентов окажется 4 отличника.

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся понятием вероятности.

В данной группе из 20 студентов 12 являются отличниками.

Возможно выбрать 6 студентов наудачу из 20 студентов по формуле сочетания:

C(20, 6) = 20! / (6! * (20-6)!) = 20! / (6! * 14!)

А теперь определим количество способов выбрать 4 отличника (из 12) и 2 студентов, не являющихся отличниками (из 8). Для этого посчитаем сочетания:

C(12, 4) = 12! / (4! * (12-4)!) = 12! / (4! * 8!)
C(8, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 8! / (2! * 6!)

Так как нам нужно получить 4 отличника и 2 студента, не являющихся отличниками, то сочетания нужно перемножить:

C(12, 4) * C(8, 2) = (12! / (4! * 8!)) * (8! / (2! * 6!))

Обратим внимание, что знаменатель и числитель второго сочетания сократились, и формула примет вид:

C(12, 4) * C(8, 2) = (12! * 8!) / (4! * 8! * 2! * 6!)

Теперь рассчитаем вероятность получить 4 отличника из 6 студентов наудачу:

P(4 отличника) = C(12, 4) * C(8, 2) / C(20, 6)

P(4 отличника) = (12! * 8!) / (4! * 8! * 2! * 6!) / (20! / (6! * 14!))

Теперь выполним сокращения и упростим данное выражение:

P(4 отличника) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) * (8 * 7) / (2 * 1) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

P(4 отличника) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7) * (8 * 7) / (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1)

Теперь выполним вычисления:

P(4 отличника) = 665280 / 387987600

Дальше можно выполнить сокращения, сводящиеся в числителе и знаменателе:

P(4 отличника) = 13 / 77520

Таким образом, вероятность того, что среди шести наудачу вызванных студентов окажется 4 отличника, равна 13 / 77520.