Question

Интеграл умножить на xdx/(1-x^2)^5 - найти столбиками подстановки через новую переменную

Answer 1

$\int\limits { \frac{x}{(1-x^2)^5} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d( \frac{x^2}{2} ) = \frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(x^2) =$
$=-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(-x^2) =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(1-x^2) =[1-x^2=t]=$
$=-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{t^5} } \, dt =-\frac{1}{2} * \int\limits {t^{-5}} \, dt =-\frac{1}{2} * \frac{t^{-5+1}}{-5+1}+C= \frac{1}{8t^4}+C=$
$=\frac{1}{8(1-x^2)^4}+C =\frac{1}{8(x^2-1)^4}+C.$