Для того чтобы найти уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = tg(x) в заданных точках, мы должны воспользоваться знаниями о производной функции и ее значениях в этих точках.
1. Найдем производную функции f(x) = tg(x):
f'(x) = (1/cos^2(x))
2. Найдем значение производной в точке x = п/4:
f'(п/4) = (1/cos^2(п/4)) = 1
Таким образом, производная в точке x = п/4 равна 1.
3. Найдем значение производной в точке x = п/3:
f'(п/3) = (1/cos^2(п/3)) = 3/4
Таким образом, производная в точке x = п/3 равна 3/4.
4. Теперь, для того чтобы найти уравнения касательной и нормали, воспользуемся общей формулой для уравнения прямой: y = kx + b, где k - это коэффициент наклона, а b - это коэффициент сдвига.
Для касательной:
- В точке x = п/4, производная равна 1, следовательно, коэффициент наклона будет равен 1.
- Подставим координаты точки x = п/4 в уравнение касательной: y - f(п/4) = 1(x - п/4).
- Так как f(п/4) = tg(п/4), то y - tg(п/4) = x - п/4.
Таким образом, уравнение касательной для точки x = п/4 будет: y - tg(п/4) = x - п/4.
Для нормали:
- В точке x = п/3, производная равна 3/4, следовательно, коэффициент наклона будет равен -4/3 (обратное значение и противоположного знака).
- Подставим координаты точки x = п/3 в уравнение нормали: y - f(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
- Так как f(п/3) = tg(п/3), то y - tg(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
Таким образом, уравнение нормали для точки x = п/3 будет: y - tg(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
В данном ответе было рассмотрено решение задачи для двух точек: x = п/4 и x = п/3. При решении использовались знания о производной функции, ее значениях в данных точках и общая формула для уравнения прямой. Каждый шаг решения был подробно описан и обоснован, чтобы ответ был понятен школьнику.
1. Найдем производную функции f(x) = tg(x):
f'(x) = (1/cos^2(x))
2. Найдем значение производной в точке x = п/4:
f'(п/4) = (1/cos^2(п/4)) = 1
Таким образом, производная в точке x = п/4 равна 1.
3. Найдем значение производной в точке x = п/3:
f'(п/3) = (1/cos^2(п/3)) = 3/4
Таким образом, производная в точке x = п/3 равна 3/4.
4. Теперь, для того чтобы найти уравнения касательной и нормали, воспользуемся общей формулой для уравнения прямой: y = kx + b, где k - это коэффициент наклона, а b - это коэффициент сдвига.
Для касательной:
- В точке x = п/4, производная равна 1, следовательно, коэффициент наклона будет равен 1.
- Подставим координаты точки x = п/4 в уравнение касательной: y - f(п/4) = 1(x - п/4).
- Так как f(п/4) = tg(п/4), то y - tg(п/4) = x - п/4.
Таким образом, уравнение касательной для точки x = п/4 будет: y - tg(п/4) = x - п/4.
Для нормали:
- В точке x = п/3, производная равна 3/4, следовательно, коэффициент наклона будет равен -4/3 (обратное значение и противоположного знака).
- Подставим координаты точки x = п/3 в уравнение нормали: y - f(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
- Так как f(п/3) = tg(п/3), то y - tg(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
Таким образом, уравнение нормали для точки x = п/3 будет: y - tg(п/3) = (-4/3)(x - п/3).
В данном ответе было рассмотрено решение задачи для двух точек: x = п/4 и x = п/3. При решении использовались знания о производной функции, ее значениях в данных точках и общая формула для уравнения прямой. Каждый шаг решения был подробно описан и обоснован, чтобы ответ был понятен школьнику.