Question

Производная сложной функции 1) y=e^-x 2) y=√e^x 3) y=e^x-e^-x/2 4) y=e^x+e^-x/2 5) y= 16^√x^3+6x+14 6) y=e^(3x+5)^2 7) y=a^3x 8) y=a^x e^x 9) y=lg(2x) 10) y=in 3x 11) log3(4x-2) 12) y=in(x^3) 13) y=(in x)^3

Answer 1

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней:$f'(g(x) = f'(g)\cdot g'(x)$. Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
$y=e^{-x}\\ f=e^{g}\\ g = -x \\ y'=f'(g)\cdot g'(x) = e^g\cdot(-1)=-e^{-x}$
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
$y=16^{\sqrt{x^3}}+6x+14\\ f=16^g\\ g=\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}\\ y' = f'(g)\cdot g'(x) + (6x)' + (14)' = (16^g)'\cdot(x^\frac{3}{2})'+6+0 = \\ = 16^g\cdot \ln{16} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+6=\frac{3}{2}\cdot16^{\sqrt{x^3}}\cdot \ln16\cdot \sqrt{x}+6$
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
$y=e^{(3x+5)^2}\\ f=e^g\\ g=h^2\\ h=3x+5 \\ y'= f'(g) \cdot g'(h)\cdot h'(x) = (e^g)'\cdot (h^2)'\cdot(3x+5)'=e^g\cdot2h \cdot 3 = \\ =6e^{(3x+5)^2}\cdot(3x+5)$
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
$y=\ln^3x\\ f=g^3 \\ g=\ln x\\ y'=f'(g)\cdot g'(x) = (g^3)'\cdot\frac{1}{x} = \frac{3g^2}{x} = \frac{3\ln^2 x}{x}$

Остальные задания делаются по тому же принципу.
ответы:
$\displaystyle 2) \frac{\sqrt{e^x}}{2} \\ 3) e^x + \frac{e^{-x}}{2} \\ 4) e^x -\frac{e^{-x}}{2} \\ 7) 3a^{3x} \ln{a} \\ 8) e^x a^x+e^x a^x \ln a \\ 9) \frac{1}{x \ln10} \\ 10) \frac{1}{x} \\ 11) \frac{2}{2x\ln 3 - \ln 3} \\ 12) \frac{3}{x}$