Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= ; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v) ×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.
ответ:1. Дан куб. Определи, какая из данных в ответе прямых перпендикулярна названной плоскости?
а) Плоскости (BCC1) перпендикулярна прямая
AA1
AC1
B1C1
AC
AB
BD1
BD
б) Плоскости (ACC1) перпендикулярна прямая
AA1
B1C1
AC1
BD
BD1
AB
AC
2. В каком ответе проведённая прямая, которая не лежит в плоскости названной фигуры, перпендикулярна плоскости этой фигуры?
Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам квадрата
Прямая проведена перпендикулярно основанию равнобедренного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно боковым сторонам трапеции
Прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника
Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности
Дополнен 5 месяцев назад
Рисунок внизу!
первое не надо, только 2.
- Если у тебя возникли проблемы при выполнении домашнего задания:
ты не знаешь, как дальше решается эта задача, оставь ее на потом и решай задачу полегче.
( Через некоторое время ты обязательно поймешь решение той задачи. )
- Отведи себе специально тетрадь и выписывай туда все недавно заученные формулы по математике и физике.
Запиши туда же, что означают отдельные буквы в формулах.
- Хвали себя сам за хорошие оценки, но не перехваливай :)
- Выученный в школе материал повтори дома
Обычный короткий просмотр или повторение совершает чудо!
- Создай себе хорошую учебную атмосферу, подыскав для себя убранную, хорошо освещенную комнату.
Если тебе нужно долго работать за компьютером, делай перерывы - это даст твоим глазам возможность передохнуть !
Удачи тебе - ученик!
Как правильно учить уроки.
Заучивай материал с желанием запомнить.
Ставь цель запомнить надолго.
Пользуйся смысловыми опорами и смысловой группировкой материала.
Тот, кто хорошо осмысливает, тот запоминает надолго.
Начинай повторять до того, как материал стал забываться.
Заучивай и повторяй небольшими дозами.
После естественных предметов лучше учить историю, а после физики - литературу:
ПАМЯТЬ ЛЮБИТ РАЗНООБРАЗИЕ !
Когда учишь, записывай, рисуй схемы, диаграммы, черти графики, составляй таблицы;
Не учи стихи по столбцам. Короткие заучивай целиком, длинные разбивай на смысловые порции.
Как можно быстрее, не дожидаясь полного заучивания, старайся воспроизвести отрывок, закрыв книгу.
Помни слова Льва Толстого: "Никогда не справляйся в книге, ежели что-нибудь забыл, а старайся сам припомнить".
Если получил задание на вторник, а отвечать надо в пятницу, не жди до четверга: выучи сразу, а накануне только повтори.
КАК РАЗРЯДИТЬ СВОИ ЭМОЦИИ .
- Можно разрядить свои эмоции, высказавшись в кругу друзей, которые поймут и посочувствуют.
- Если ты один, то можешь выразить свой гнев, поколотив подушку или выжимая полотенце, даже если оно сухое.
Большая часть энергии гнева копится в мышцах плеч, в верхней части рук и в пальцах.
- Производи любые спонтанные звуки — напряжение может быть “заперто” в горле.
- Самую полноценную разрядку дают занятия каким-либо видом спорта. Поэтому настоящие спортсмены обладают
не только физическим, но и душевным здоровьем.
- Прогулка по лесу, созерцание движения реки или спокойной глади озера, лесные звуки и запахи
вернуть душевное равновесие и работо
- Три-четыре коротких выдоха подряд, потом столько же коротких вдохов. Благодаря этому разбивается поток импульсов,
идущих в мозг при глубоком вдохе, что очень важно при стрессе.
- Природа дала нашему мозгу отличное средство защиты от психических перегрузок :
1. Смех оказывается своеобразной защитой нервной системы. Его можно рассматривать как серию коротких выдохов.
Эти выдохи и дробят опасный поток импульсов. В этом упражнении соединяются целебные свойства плача и смеха.
А сейчас выполним ряд упражнений на снятие эмоционального напряжения.
1.Сожмите пальцы в кулак с загнутым внутрь большим пальцем. Делая выдох спокойно, не торопясь, сжимайте с усилием кулак.
Затем, ослабляя сжатие кулака, сделайте вдох. Повторите 5 раз.
Теперь попробуйте выполнить это упражнение с закрытыми глазами, что удваивает эффект.
2. Возьмите по два грецких ореха и совершайте ими круговые движения в каждой ладони.
3. Слегка помассируйте кончики польцев, делая круговые движения в течение 3 минут.Источник: желаю удачи :)