Question

Решите уравнение : 3 cos x + 5 sin x/2=-1

Answer 1

$3cosx+5sin \frac{x}{2}=-1$
$cosx=cos(2* \frac{x}{2} )=1-2sin ^{2} \frac{x}{2}$
$3*(1-2 sinx^{2} \frac{x}{2} )+5sin \frac{x}{2} =-1$
$-6 sin^{2} \frac{x}{2} +5sin \frac{x}{2} +4=0$
тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:
$sin \frac{x}{2} =t$, t∈[-1;1]
-6t²+5t+4=0. D=121. t₁=4/3, 4/3∉[-1;1] посторонний корень
t₂=-1/2
обратная замена:
$sin \frac{x}{2} =- \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2}=(-1) ^{n}*arcsin(- \frac{1}{2} )+ \pi n, n$∈Z
$\frac{x}{2} =(1) ^{n+1}*arcsin \frac{1}{2}+ \pi n$
$\frac{x}{2}=(-1) ^{n+1}* \frac{ \pi }{6}+ \pi n |*2$
$x=(-1) ^{n+1}* \frac{ \pi }{3}+2 \pi n, n$∈Z