Question

Известно, что а и б такие положительные действительные числа, для которых выполняется неравенство а + б = а2 + б2. докажите, что а4 + б4 больше или равна а3 + б3. а3-а в третей степени, и в таком роде ..

Answer 1

Через первое условие распишем произведение ab.

$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = a+b+2ab =\ \textgreater \ a+b = 2ab =\ \textgreater \ ab = \frac{a+b}{2}$

Теперь распишем второе выражение:

$a^{4}+b^{4} = (a^{2}+b^{2})^{2} - 2a^{2}b^{2} = (a+b)^{2} - 2 \frac{(a+b)^{2}}{4} = \frac{(a+b)^{2}}{2} = \frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{2}$ = $\frac{a+b}{2} +ab = a+b.$

Теперь распишем сумму кубов:

$a^{3} + b^{3} = (a+b)*(a^{2}-ab+b^2) = (a+b)(a+b-ab)= \frac{(a+b)^{2}}{2} =$ $\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{2} = \frac{a+b}{2} + ab = a+b.$

На выходе получаем, что нам надо доказать, что a+b ≥ a+b, что тривиально потому, что выражения слева и справа равны.