Если разрешается пользоваться теоремой Эйлера, то все несложно. Решение прицеплено в картинке.
более скучный, зато совсем школьный). Будем вычислять три последние цифры у различных степеней семерки до тех пор, пока эти три цифры не станут 001. В первой колонке степень n, а во второй - три последних цифры числа 7ⁿ: 1 7 2 49 3 343 4 401 5 807 6 649 7 543 8 801 9 607 10 249 11 743 12 201 13 407 14 849 15 943 16 601 17 207 18 449 19 143 20 001 Т.е. мы видим, что число 7²⁰ заканчивается на ...001, а значит и его любая степень тоже заканчивается на ...001. Итак, 7⁹⁹⁹⁹=(7²⁰)⁴⁹⁹·7¹⁹, т.е. последние 3 цифры числа 7⁹⁹⁹⁹ будут такими же, как у числа 7¹⁹, т.е. 143.
Надо заметить, что это не совсем "честный" Если заранее не знать, что уже на 20-ой степени мы получим 001, то вполне могло оказаться, что 001 не появится через относительно небольшое количество шагов. Поэтому, когда надо узнать несколько последних цифр числа без компьютера или подсказок, с этим методом рискованно связываться.
великий князь Киевский, четвертый сын Владимира Мономаха, родился около 1090 года (по Татищеву, он умер 66-ти лет, следовательно, родился в 1091 году). Еще при жизни отца в удел досталась ему Ростовско-Суздальская область. Здесь деятельность его была обращена преимущественно на постройку и укрепление городов, основание церквей и монастырей; в летописях упоминается только об одном походе его на камских болгар в 1120 году. Им основаны: Юрьев Польский, Переяславль-Залесский (1152 г.), Дмитров; ему же приписывается основание Москвы. Но, живя на севере, Юрий постоянно стремился на юг, в исконную Русскую землю — Киевскую Русь. В 1132 году умер старший брат его, великий князь Мстислав Владимирович; преемником его стал следующий по старшинству брат — Ярополк. Последний, согласно условию с покойным братом, перевел его старшего сына Всеволода из Новгорода в Переяславль, но против этого восстали младшие Мономаховичи. Утром въехал Всеволод Мстиславич в Переяславль и уже до обеда был выгнан оттуда дядей своим, Юрием. Однако и Юрий продержался там не более 8 дней, потому что Ярополк вывел его оттуда и посадил на его место сначала другого Мстиславича, Изяслава, а потом младшего своего брата, Вячеслава; последний несколько раз покидал данную ему старшим братом волость, и поэтому Ярополк склонился на Юрия, дал ему в 1135 году Переяславль с тем, чтобы он уступил ему свою прежнюю волость. Юрий согласился уступить Ростовскую область (Суздаль и Ростов), но не всю. В этом же году началась многолетняя борьба Юрия с племянником своим, Изяславом Мстиславичем. Последний подговорил и брата своего, Всеволода, пойти на область дяди. Всеволод дошел только до реки Дубны, и возвратился; 31-го декабря выступили против Юрия новгородцы вторично и 26 января 1135 г. сразились при Ждановой горе, но не могли одержать победу. Ипатская летопись относит поход новгородце в к 1137 (6645) году. В этом же году происходила борьба Ярополка и Юрия с Всеволодом Ольговичем Черниговским. Ярополк, Юрий и Андрей Владимировичи пошли на Чернигов, простояли около него несколько дней и возвратились к себе в ноябре. Зимой Всеволод, в союзе с Изяславом и Святополком Мстиславичами, при половцев опустошил Переяславскую землю, а затем Ярополк с Юрием простояли 50 дней у Киева. Борьба кончилась заключением мира со Всеволодом Ольговичем, по которому Ярополк отдал брату своему, Андрею Владимировичу, Переяславль, а Юрий получил обратно свою северную волость, удержав, однако, за собой на юге Городец Остерский. В 1136 г. продолжались еще враждебные действия Всеволода Ольговича, которому половцы, против Мономаховичей, закончившиеся 12-го января тем, что Ярополк уступил Ольговичам их отчину. В 1137 г. Юрий возвратился в Ростов. Когда после смерти Ярополка († 1139 г.) Всеволод Ольгович в 1140 году захватил Киев, то Юрий приехал в Смоленск к племяннику своему, Ростиславу Мстиславичу, чтобы подговорить его к борьбе с Всеволодом. Звал он и новгородцев, у которых с 1139 г. князем был его сын Ростислав Юрьевич. Новгородцы отказали в а Ростислав вынужден был уехать из Новгорода. Оскорбленный этим, Юрий взял у новгородцев Торжок. Между тем в Новгороде шла борьба партий, и изгнанные новгородские бояре находили убежище у Юрия. Благодаря такому образу действий он приобрел в Новгороде много сторонников, которые и стали звать его на княжение. Юрий сам не поехал, а послал опять своего сына Ростислава (1141 г.), который, однако, не долго продержался в Новгороде; новгородцы приняли присланного Всеволодом Ольговичем Святополка Мстиславича. Всеволод и на юге причинил неприятности Юрию: отнял у него Городец Остерский и другие города, захватил коней, рогатый скот, овец и всякое добро, какое только было у него там. В 1146 г. Всеволод Ольгович умер; Киев перешел к младшему брату его, Игорю, но вскоре отнят у последнего Изяславом Мстиславичем. Защитником Игоря выступил его брат, князь Святослав Ольгович Северский, пославший сказать Юрию
