Question

Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b, c и d равно a +b + c + d. докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Answer 1

Можно считать, что a <= b <= c <= d.
Т.к. a + b + c + d - НОК, то должно делиться на d и быть больше d.

a + b + c + d <= 4d, значит, 2d, 3d или 4d.

1) Если a + b + c + d = 4d, то a = b = c = d, но тогда НОК был бы равен d, а не 4d. Значит, этот случай не выполняется.
2) Если a + b + c + d = 3d, то хотя бы одно из чисел a, b, c, d делится на 3 (т.к. НОК делится на 3).
3) Если a + b + c + d = 2d, то a + b + c = d и 2(a + b + c) = НОК(a, b, c, d).
Аналогично, НОК должен делиться на c и быть больше 2c, значит
2c < 2(a + b + c) <= 6c, и 2(a + b + c) = 3c, 4c, 5c или 6с.
- Если 3с, 5с или 6с - всё ок, хотя бы одно из чисел делится на 3 (в первом или третьем случае) или на 5 (во втором).
- Если 2(a + b + c) = 4c, то a + b = c, и НОК = 4(a + b) = 4a + 4b - должно делиться на b. Значит, 4a делится на b, 4a = b, 2b. 3b, 4b. Остался последний перебор:
* Если 4a = b, то НОК(a, b, c, d) = НОК(a, b, a + b, 2(a + b)) = НОК(a, 4a, 5a, 10a) делится на 5, значит, произведение делится на 5.
* Если 4a = 2b, 2a = b, то есть делимость на 3, т.к. c = 3a
* Если 4a = 3b, то a делится на 3
* Если 4a = 4b, a = b, то НОК = НОК(a, a, 2a, 4a) = 4a, а не a + a + 2a + 4a = 8a.

Все случаи разобраны, и в каждом возможном случае произведение делится на 3 или 5.