Для нахождения промежутков монотонности функции y = 2x^3 + 6x^2 - 1, нам нужно проанализировать знак её первой производной и второй производной на интервалах.
Шаг 1: Найдем первую производную функции y по x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим результаты:
y' = d(2x^3)/dx + d(6x^2)/dx + d(-1)/dx
y' = 6x^2 + 12x
Шаг 2: Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек функции (точек, где график меняет направление):
6x^2 + 12x = 0
6x(x+2) = 0
Таким образом, нашли две критические точки: x = 0 и x = -2.
Шаг 3: Анализируем знаки первой производной на интервалах.
Для этого мы выбираем точки внутри каждого интервала и подставляем их в первую производную. Если получаем положительный результат, то функция возрастает на данном интервале, если отрицательный - функция убывает.
Интервал (-бесконечность, -2):
Подставляем x = -3: y' = 6*(-3)^2 + 12*(-3) = 54 - 36 = 18 > 0
Получили положительный результат, следовательно, функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2).
Интервал (-2, 0):
Подставляем x = -1: y' = 6*(-1)^2 + 12*(-1) = 6 - 12 = -6 < 0
Получили отрицательный результат, следовательно, функция убывает на интервале (-2, 0).
Интервал (0, +бесконечность):
Подставляем x = 1: y' = 6*1^2 + 12*1 = 6 + 12 = 18 > 0
Получили положительный результат, следовательно, функция возрастает на интервале (0, +бесконечность).
Шаг 4: Ответ.
Итак, функция y = 2x^3 + 6x^2 - 1 возрастает на интервалах (-бесконечность, -2) и (0, +бесконечность), а убывает на интервале (-2, 0).
f(x) возрастает ⇔f⁽¹⁾(x)>0
f(x) убывает ⇔f⁽¹⁾(x)<0
f⁽¹⁾(x)=6x²+12x>0 ⇔6x(x+2)>0
+ - +
(-2)0
x∈(-∞;-2) ∪(0;+∞), f(x) возрастает
x∈(-2;0) , f(x) убывает