Question

Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет=5/3. составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами=8

Answer 1

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
где а - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.
Действительную полуось мы знаем, найдём мнимую из уравнения эксцентриситета:
$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\\\sqrt{1+\frac{b^2}9}=\frac53\\1+\frac{b^2}9=\frac{25}9\\\frac{b^2}9=\frac{16}{9}\\b^2=16\\b=4$
$\frac{x^2}9-\frac{y^2}{16}=1$ - искомое уравнение.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;a+b=8,\;2c=8\Rightarrow c=4\\\\\begin{cases}a+b=8\\a^2=b^2+c^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=8-b\\(8-b)^2=b^2+16\end{cases}\\(8-b)^2=b^2+16\\64-16b+b^2=b^2-16\\16b=80\\b=5\\\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ - искомое уравнение.