Question

Существуют ли такие натуральные числа m, n, k, что все три числа m^2+n+k, n^2+k+m, k^2+m+n являются квадратами натуральных чисел?

Answer 1

Пусть, не нарушая общности, $m\leq n\leq k$

Тогда $k^2+m+n\leq k^2+k+k=k^2+2k$

С другой стороны, т.к. числа натуральные, $k^2+m+nk^2+0+0=k^2$

$k,\;k+1$ - последовательные натуральные числа. По условию $k^2+m+n$ - полный квадрат. Тогда получается, что он "зажат" между квадратами двух последовательных натуральных чисел, что, очевидно, невозможно. Противоречие. А значит таких натуральных чисел не существует.