Дано: F(x)= x²-3*x, y(x)=x.
Найти: S=? - площадь фигуры
Пошаговое объяснение:
1) Находим точки пересечения графиков.
x²- 4*x =0 - квадратное уравнение
b = 0- верхний предел, a = 4- нижний предел.
2) Площадь - интеграл разности функций.
s(x) = -4*x + x² - подинтегральная функция
3) Интегрируем функцию и получаем:
S(x) =-4/2*x² + 1/3*x³
4) Вычисляем на границах интегрирования.
S(b) = (4) = 0+0+0 = 0
S(a) = S(0) =0 -32 + 21 1/3 = - 10 2/3
S = S(0)- S(4) = 10 2/3 - площадь - ответ
Рисунок к задаче в приложении.
Дано: y = (x²-6x+4)/(3x-2),
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: D(y)= X≠ 2/3 , X∈(-∞;2/3)∪(2/3;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота - Х = 2/3.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1/3
b = -16/9 и
y(x) = x -16/9 - наклонная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОУ.
y(0) = 4 : (-2) = -2
Пересечение с осью ОХ - решаем квадратное уравнение в числителе.
х1 = 5,236 и х2 = 0,7639, D = 20 и √20 = 2√5
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;2/3)∪(0.76;5.2).
Положительна: Y>0 - X∈(5.2;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,
Y(-x)= (x^2+6*x+4)/(-3*x+2).
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) =(-3*x² +18*x +2*(x-3)(3x-2)-12 /(3x-2)² = 0.
x*(3*x-4) =0
x1 = 0, x2 = 4/3 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = -2, минимум: y(4/3) = -1.11.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;0)∪(4/3;+∞). Убывает: X∈(0;2/3)∪(3/2;4/3).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 8/(3x-2)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(2/3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;2/3);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
