Question

Закрытый цилиндрический бак должен вмещать v л. при каких размерах бака его полная поверхность будет минимальной? это по высшей

Answer 1

Полная поверхность равна: h*l(осн.)+pi*r²=h*2pir+pir²

V=h*pi*r² h=V/pi*r²

Полная поверхность равна: h*l(осн.)+pi*r²=V/(pi*r²)*2pir+pir²=2V/r+pi*r²

Исследуем функцию: у=2V/r+pi*r² на екстремумы.

у"=-2V/r²+2pi*r=0

pi*r³=V

r³=V/pi

r=∛(V/pi)

h=V/pi*∛(V/pi)²

Answer 2

Обозначим радиус основания цилиндра - R

Высоту цилиндра обозначим через H

Тогда объём цилиндра $\pi*R^{2}*H$ = V, площадь поверхности цилиндра

S = $2*\pi*R^{2}+2*\pi*R*H$

Первый раз решаю, поэтому подробно. выразим из уравнения объёма H и подставим его в функцию площади поверхности цилиндра.

H = $V / (\pi*R^{2})$

S = $2*\pi*R^{2}+2*\pi*R*V / (\pi*R^{2})$

S = $2*\pi*R^{2}+2*V / R$

Найдём точки экстремума для функции S(R), найдя нули её производной

$S'(R) = 4*\pi*R - 2*V/R^{2}$

S'(R) принимает значение 0 только в одной точке.

R0 = \$\sqrt[3]{V/(2*\pi)}$

Слева от точки R0 функция S(R) убывает, а справа Возрастает. Точка R0 минимум функции S(R).

ответ. R0 = \$\sqrt[3]{V/(2*\pi)}$

H = V/($\pi*R^{2} )$