Question

Ненулевые числа a, b и c таковы, что числа a(b-c), b(c-a), c(a-b), записанные в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию. докажите, что тогда и числа a(b^3-c^3), b(c^3-a^3), c(a^3-b^3) также образуют арифметическую прогрессию. докажите, что тогда и числа a(b^3-c^3), b(c^3-a^3), c(a^3-b^3) также образуют арифметическую прогрессию.

Answer 1

Если образуют арифметичесикую прогрессию, то по характерестическому ее свойству:
2b(c-a)=a(b-c)+c(a-b)
Решим это:
2bc-2ab=ab-ac+ac-cb
3bc=3ab
c=a(т.к. числа ненулевые можно поделить на 3b)
Проверим теперь по этому же свойстве вторую группу чисел:
2b(c^3-a^3) сравнить с a(b^3-c^3)+c(a^3-b^3)
Так как a=c, подставим вместо с а:
0 сравнить с ab^3-a^4+a^4+ab^3=0
0=0 => это верно =>это также является арифметической прогрессией. ч.т.д.