Question

Построить треугольник по высоте, углу при вершине и отношению отрезков основания

Answer 1

Перед тем, как приступить к построению, надо решить тригонометрическую задачу.
Пусть имеем треугольник АВС с основанием АС, разделённом высотой на отрезки в1 и к*(в1) (заданное соотношение привести к виду (1:к).
Угол при вершине обозначим α, его части, разделённые высотой,  α1 и (α-α1).

Высота Н треугольника из двух половин треугольника определяется как:
Н = в1/tgα1 и H = к*(в1)/tg(α-α1).
Получаем уравнение:
в1/tgα1 = к*(в1)/tg(α-α1).
Тангенс разности углов выразим: 
$tg( \alpha - \alpha_1 )=\frac{tg \alpha -tg \alpha _1}{1+tg \alpha *tg \alpha _1}.$
Приведя к общему знаменателю и сократив на в1, получаем:
$tg \alpha -tg \alpha _1=k*tg \alpha _1*(1+tg \alpha *tg \alpha _1).$
Если заменить $tg \alpha _1=x$, то получим квадратное уравнение:
$(k*tg \alpha )*x^2+(k+1)*x-tg \alpha =0.$
Решив это уравнение, подставив заданные значения к и альфа, находим тангенс угла α₁ и по этому тангенсу сам угол.

Теперь вычерчиваем треугольник:
- проводим прямую линию в основании,
- в произвольной точке восстанавливаем перпендикуляр, заданной длины   как высота,
- из верхней точки высоты проводим под углом α₁ к высоте прямую до пересечения   с основанием,
- из верхней точки высоты под углом α к проведенной боковой стороне   проводим вторую сторону,
- треугольник готов.