Это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится ко второму виду) Нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н. Найдем решение однородного уравнения Воспользуемся методом Эйлера , и перейдем к характеристическому уравнению: По т. Виета: Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
Найдем теперь частное решение Положим Где - многочлены степеней х(или полиномы)
Тогда частное решение будем искать в виде: Уч.н. Найдем первую и вторую производную Подставим в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
Пусть a - числитель, b - знаменатель. Тогда числитель и знаменатель после увеличения 12 будут равны: (a + 12) и (b + 12). Новая дробь в 3 раза той, которая была: 3*a/b = (a + 12)/(b + 12); 3a * (b + 12) = b * (a + 12); 3ab + 36a = ab + 12b; 36a = 12b - 2ab; 18a = 6b - ab; 18a = b*(6 - a); Т.к. по условию числитель и знаменатель - положительные, то из последнего выражения имеем 1 ≤ a ≤ 5. Кроме этого a и b не равны нулю, т.к. дроби не будет. Теперь перебираем: a = 1; 18 = b * 5; b = 3.6. Дробь имеет вид 1/3,6. a = 2; 36 = b * 4; b = 9; Дробь 2/9. a = 3; 54 = b * 3; b = 18; Дробь 3/18 = 1/6 сократимая. a = 4; 72 = b * 2; b = 36; Дробь 4/36 = 1/9 сократимая a = 5; 90 = b * 1; b = 90; Дробь 5/90 = 1/18 сократимая Несократимые только две. Переворачиваем их (обратные) и суммируем: 3,6/1 + 9/2 = 3,6 + 4,5 = 8,1
, и перейдем к характеристическому уравнению:
- многочлены степеней х(или полиномы)
- ответ.
(1/5 + 2/5) * х = 12
3/5х = 12
х = 12 : 3/5 = 12 * 5/3 = 4 * 5 = 20 - искомое число
1/10 от 20 = 20 : 10 * 1 = 2
3/10 от 20 = 20 : 10 * 3 = 6
2 + 6 = 8 - сумма 1/10 и 3/10 числа 20
ответ: 8.