Question

Известно что у двух многочленов pn(x) и qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что pn((2017) делится без остатка на 2016

Answer 1

В общем виде можно написать, что

$\displaystyle P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k\\ Q_m(x) = \sum\limits_{k=0}^m b_k x^k$

Рассмотрим Pn(2017) и перегруппируем члены

$\displaystyle P_n(2017) = P_n(2016+1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k (2016+1)^k = \\ = \sum\limits_{k=0}^n \left[a_k (2016+1)^k-1\right] + \sum\limits_{k=0}^n a_k$

Вторая сумма и есть сумма всех коэффициентов. Несложно показать, что первая сумма делится на 2016. Рассмотрим любое ее слагаемое и разложим двучлен по формуле бинома Ньютона

$\displaystyle a_k[(2016+1)^k-1] = a_k\sum\limits_{l=1}^kC^l_k\cdot2016^l = 2016\sum\limits_{l=0}^{k-1}C^{l+1}_{k}\cdot2016^l$

Итак, общий множитель вынесся, а под суммой стоят только целые числа,так что все хорошо.

Аналогично мы разложим многочлен Qm(2017) и тоже представим его в виде чего-то, что делится на 2016 и суммы его коэффициентов. Когда мы посмотрим на разницу Pn(2017)-Qm(2017), суммы коэффициентов этих многочленов друг друга уничтожат и останется разность двух сумм, каждая из которых делится на 2016. Значит и разность будет делиться на 2016