№ 1:
решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней.
(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0
(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0
замена x^2-x+1=a
a^2-10(a-13)-109=0
a^2-10a+130-109=0
a^2-10a+21=0
(a-3)(a-7)=0
a=3
a=7
x^2-x+1=3
x^2-x-2=0
d=1+4*2> 0, корни есть
x1+x2=1
x^2-x+1=7
x^2-x-6=0
d=1+4*6> 0, корни есть
x3+x4=1
x1+x2+x3+x4=1+1=2
ответ: 2
№ 2:
число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?
первый случай обозначим за х x=7k+2
второй случай обозначим за у y=7k+4
x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4
y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2
4> 2, больший остаток найден
ответ: 1 (остаток 2)
№ 3:
два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)?
пусть х скорость первого (ее надо найти), у скорость второго
имеем систему
2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа
5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин
5x+4y=40
5x+8y=60
4y=20
y=5
2.5x+2*5=20
2.5x=10
x=4
ответ: 4
№ 4:
трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число.
это число abc
система:
100a+10b+c=100c+10b+c+495
a+b+c=17
a^2+b^2+c^2=109
a=c+5
c+5+b+c=17
(c+5)^2+b^2+c^2=109
b+2c=12
c^2+10c+25+b^2+c^2=109
b=12-2c
2c^2+10c+b^2-84=0
2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0
2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0
6c^2-38c+60=0
3c^2-19c+30=0
d=361-4*3*30=1
c=(19+1)/6=20/6 не натуральное
c=(19-1)/6=3
b=12-2*3=6
a=3+5=8
ответ: 863
№ 5:
при каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?
6-3b+4bx=4b+12x
4bx-12x=4b-6+3b
(4b-12)x=7b-6
x=(7b-6)/(4b-12)
(7b-6)/(4b-12)< 1
(7b-6-4b+12)/(4b-12)< 0
(3b+6)/(4b-12)< 0
(b+2)/(b-3)< 0
промежуток между корнями (-2; 3)
ответ: (-2; 3)
№ 6:
диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции.
меньшее основание х, большее основание 2х
если острый угол при основании 2а, то его половина, отсеченная биссектрисой а
сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2а)
теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами а и (180-2а), находим третий угол - а - треугольник равнобедренный
боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание
значит и боковые стороны трапеции равны х
записываем периметр
х+х+х+2х=90
5х=90
х=18
большая сторона 2х=36
ответ: 36
№ 7:
четырехугольник pqrs вписан в окружность. диагонали pr и qs перпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrs.
углы prq и psq опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы pms и rmq равны
тогда треугольники pms и rmq подобны
k=qr/ps=2
отношение k=qm/pm=2
10/pm=2; pm=5
отношение k=rm/sm=2
находим rm по т. пифагора
rm=корень(qr^2-qm^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/sm=2; sm=12
тогда полные диагонали:
qs=qm+sm=10+12=22
pr=pm+rm=5+24=29
площадь четырехугольника равна их диагоналей на синус угла между ними
s=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319
№ 1:
решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней.
(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0
(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0
замена x^2-x+1=a
a^2-10(a-13)-109=0
a^2-10a+130-109=0
a^2-10a+21=0
(a-3)(a-7)=0
a=3
a=7
x^2-x+1=3
x^2-x-2=0
d=1+4*2> 0, корни есть
x1+x2=1
x^2-x+1=7
x^2-x-6=0
d=1+4*6> 0, корни есть
x3+x4=1
x1+x2+x3+x4=1+1=2
ответ: 2
№ 2:
число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?
первый случай обозначим за х x=7k+2
второй случай обозначим за у y=7k+4
x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4
y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2
4> 2, больший остаток найден
ответ: 1 (остаток 2)
№ 3:
два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)?
пусть х скорость первого (ее надо найти), у скорость второго
имеем систему
2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа
5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин
5x+4y=40
5x+8y=60
4y=20
y=5
2.5x+2*5=20
2.5x=10
x=4
ответ: 4
№ 4:
трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число.
это число abc
система:
100a+10b+c=100c+10b+c+495
a+b+c=17
a^2+b^2+c^2=109
a=c+5
c+5+b+c=17
(c+5)^2+b^2+c^2=109
b+2c=12
c^2+10c+25+b^2+c^2=109
b=12-2c
2c^2+10c+b^2-84=0
2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0
2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0
6c^2-38c+60=0
3c^2-19c+30=0
d=361-4*3*30=1
c=(19+1)/6=20/6 не натуральное
c=(19-1)/6=3
b=12-2*3=6
a=3+5=8
ответ: 863
№ 5:
при каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?
6-3b+4bx=4b+12x
4bx-12x=4b-6+3b
(4b-12)x=7b-6
x=(7b-6)/(4b-12)
(7b-6)/(4b-12)< 1
(7b-6-4b+12)/(4b-12)< 0
(3b+6)/(4b-12)< 0
(b+2)/(b-3)< 0
промежуток между корнями (-2; 3)
ответ: (-2; 3)
№ 6:
диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции.
меньшее основание х, большее основание 2х
если острый угол при основании 2а, то его половина, отсеченная биссектрисой а
сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2а)
теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами а и (180-2а), находим третий угол - а - треугольник равнобедренный
боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание
значит и боковые стороны трапеции равны х
записываем периметр
х+х+х+2х=90
5х=90
х=18
большая сторона 2х=36
ответ: 36
№ 7:
четырехугольник pqrs вписан в окружность. диагонали pr и qs перпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrs.
углы prq и psq опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы pms и rmq равны
тогда треугольники pms и rmq подобны
k=qr/ps=2
отношение k=qm/pm=2
10/pm=2; pm=5
отношение k=rm/sm=2
находим rm по т. пифагора
rm=корень(qr^2-qm^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/sm=2; sm=12
тогда полные диагонали:
qs=qm+sm=10+12=22
pr=pm+rm=5+24=29
площадь четырехугольника равна их диагоналей на синус угла между ними
s=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319
Окружающие нас металлические предметы редко состоят из чистых металлов. Только алюминиевые кастрюли или медная проволка имеют чистоту около 99,9%. В большинстве же других случаев люди имеют дело со сплавами. Так, различные виды железа и стали, содержат наряду с металлическими добавками незначительные количества углерода, которые оказывают решающее влияние на механическое и термическое поведение сплавов. Все сплавы имеют специальную маркировку, т.к. сплавы с одним названием (например, латунь) могут иметь разные массовые доли других металлов.
Для изготовления сплавов применяют различные металлы. Самое большое значение среди всех сплавов имеют, стали различных составов. Простые конструкционные стали, состоят из железа относительно высокой чистоты с небольшими (0,07—0,5%) добавками углерода. Так, чугун, получаемый в доменной печи, содержит около 10% других металлов, из них примерно 3% составляет углерод, а остальные — кремний, марганец, сера и фосфор. А легированные стали, получают, добавляя к железу кремний, медь, марганец, никель, хром, вольфрам, ванадий и молибден.
Никель наряду с хромом является важнейшим компонентом многих сплавов. Он придает сталям высокую химическую стойкость и механическую прочность. Так, известная нержавеющая сталь содержит в среднем 18% хрома и 8% никеля. Для производства химической аппаратуры, сопел самолетов, космических ракет и спутников требуются сплавы, которые устойчивы при температурах выше 1000 °С, то есть не разрушаются кислородом и горючими газами и обладают при этом прочностью лучших сталей. Этим условиям удовлетворяют сплавы с высоким содержанием никеля. Большую группу составляют медно-никелевые сплавы.Сплав меди, известный с древнейших времен, - бронза содержит 4-30% олова (обычно 8-10%). До наших дней сохранились изделия из бронзы мастеров Древнего Египта, Греции, Китая. Из бронзы отливали в средние века орудия и многие другие изделия. Знаменитые Царь-пушка и Царь-колокол в Московском Кремле также отлиты из сплава меди с оловом. В настоящее время в бронзах олово часто заменяют другими металлами, что приводит к изменению их свойств. Алюминиевые бронзы, которые содержат 5-10% алюминия, обладают повышенной прочностью. Из такой бронзы чеканят медные монеты. Очень прочные, твердые и упругие бериллиевые бронзы содержат примерно 2% бериллия. Пружины, изготовленные из бериллиевой бронзы, практически вечны. Широкое применение в народном хозяйстве нашли бронзы, изготовленные на основе других металлов: свинца, марганца, сурьмы, железа и кремния.
Сплав мельхиор содержит от 18 до 33% никеля (остальное медь). Температура плавления мельхиора составляет 1170 °С. Он имеет красивый внешний вид. Из мельхиора изготавливают посуду и украшения, чеканят монеты («серебро»). Похожий на мельхиор сплав - нейзильбер - содержит, кроме 15% никеля, до 20% цинка. Этот сплав используют для изготовления художественных изделий, медицинского инструмента. Медно-никелевые сплавы константан (40% никеля) и манганин (сплав меди, никеля и марганца) обладают очень высоким электрическим сопротивлением. Их используют в производстве электроизмерительных приборов. Характерная особенность всех медно-никелевых сплавов - их высокая стойкость к процессам коррозии - они почти не подвергаются разрушению даже в морской воде. Сплавы меди с цинком с содержанием цинка до 50% носят название латунь. Латунь "60" содержит, например, 60 весовых частей меди и 40 весовых частей цинка. Для литья цинка под давлением применяют сплав, содержащий около 94% цинка, 4% алюминия и 2% меди. Это дешевые сплавы, обладают хорошими механическими свойствами, легко обрабатываются. Латуни благодаря своим качествам нашли широкое применение в машиностроении, химической промышленности, в производстве бытовых товаров. Для придания латуням особых свойств в них часто добавляют алюминий, никель, кремний, марганец и другие металлы. Из латуней изготавливают трубы для радиаторов автомашин, трубопроводы, патронные гильзы, памятные медали, а также части технологических аппаратов для получения различных веществ.
По следующим рецептам можно получить легкоплавкие сплавы. Сплав Ньютона: 31 массовая часть свинца, 19 частей олова и 50 частей висмута. Температура плавления 95 °С. Сплав Вуда: 25 частей свинца, 12,5 частей олова, 50 частей висмута и 12,5 частей кадмия. Температура плавления 60 °С. Ложка из такого сплава расплавится, если ею помешать горячий кофе. Раньше это демонстрировали в качестве шутливого опыта. Однако перемешанный таким образом напиток ядовит из-за солей свинца и висмута!