Question

50 . вычислите дифференциал 2-го порядка для функции 2-х переменных u(x; y) u=e^x-y (x-2y^2) (х-у в степени)

Answer 1

$d^2u=u''_{xx} dx^2+2u''_{xy} dx dy +u''_{yy} dy^2$;\\
$u'_{x}=e^{x-y}(x-2y^2)+e^{x-y}=e^{x-y}(x-2y^2+1)$;
$u'_{y}=e^{x-y}·(-1)·(x-2y^2)+e^{x-y}·(-4y)=e^{x-y}(-x+2y^2-4y)$;
$u''_{xx}=(u'_{x})'_{x}=e^{x-y}(x-2y^2+1)+e^{x-y}=e^{x-y}(x-2y^2+2)$;
$u''_{xy}=(u'_{x})'_{y}=e^{x-y}·(-1)(x-2y^2+1)+e^{x-y}(-4y)=e^{x-y}(-x+2y^2-1-4y)$;
$u''_{yy}=(u'_{y})'_{y}=e^{x-y}(-1)(-x+2y^2-4y)+e^{x-y}(4y-4)=e^{x-y}(x-2y^2+8y-4)$.
Осталось подставить найденные производные в формулу для второго дифференциала