Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.
"Одна из сторон треугольника в 2 раза больше второй стороны" - значит, первая = 2Х, вторая - Х.
"...а вторая - на 7 меньше третьей" - значит, третья больше, чем вторая и = (Х+7). Скорее всего, дециметров? (проверьте по условию)"
Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 99 дм".Т.е. сумма всех трех сторон: 2Х+Х+(Х+7)=99.
Решаем: 4Х=99-7=92 Х=92:4=23 (вторая сторона). Третья сторона - на 7 больше второй, =23+7=30. Первая сторона- в 2 раза больше второй, =2*23=46. Периметр = 46+23+30=99. ВЕРНО!
0.6y=0.9
y=0.9:0.6
у=1.5