Question

А)запишите уравнение окружности,проходящей через точки а(2,0) ,в(5,0) и касающейся оси оу. б) найдите координаты точек пересечения порабол у=-2х^2-х-6 и у=х^2-2. в) найдите координаты точек пересечения гиперболы ух=2 и окружности х^2+у^2=4.

Answer 1

1) Если окружность проходит через точки А(2,0) ,В(5,0), то её центр лежит на прямой х = (2+5)/2 = 7/2 = 3,5.
А так как окружность касается оси Оу, то радиус R равен 3,5.
Координату уо центра по оси Оу определяем как высоту в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами R и основанием 5-2 = 3.
уо = √(3,5²-1,5²) = √((3,5-1,5)(3,5+1,5) = √(2*5) = √10.
Получаем уравнение окружности (х-3,5)²+(у-√10)² = 3,5².

2) Параболы у=-2х^2-х-6 и у=х^2-2 не пересекаются.
Первая ветвями вниз имеет вершину в точке:
Хо = -в/2а = 1/(-2*2) = -1/4, Уо = -2*1/16+(1/4)-6 = -5,875.
Вторая ветвями вверх имеет вершину Уо = -2.

3) Решаем систему из двух уравнений подстановки:
 ух=2 ,  у = 2/х,
 х^2+(2/х)^2=4.
x^4-4x^2+4 = 0  вводим замену переменной х² = а.
а²-4а+4 = 0  или (а-2)² = 0.
Отсюда имеем один корень: а = 2
Обратная замена даёт 2 точки пересечения: х = +-√2, у = +-2/√2 = +-√2.
Координаты точек пересечения: (√2; √2) и (-√2; -√2).