Исследуем функцию и построим график f(x)=x4−5x2+4.
Общую схему исследования функции можно посмотреть здесь
1. Находим область определения x∈(−∞;+∞).
2. Находим область значения f(x)∈(−∞;+∞).
3. Определяем четность функции
f(−x)=(−x)4−5(−x)2+4=x4−5x2+4=f(x)
функция четная, т.е. она симметричная относительно оси Oy. Далле будем исследовать на области x∈[0;+∞) и воспользуемся симметрией.
4. Находим точки пересечения с осью Ox, т.е. y=0
x4−5x2+4=0=>x21,2=5±25−16−−−−−−√2=5±32=>
[ x2=4x2=1=>⎡⎣⎢⎢ x1=2x2=−2x3=1x3=−1
Координаты точек (1;0),(2;0) и симметричные (−1;0),(−2;0)
5. Находим точки пересечения с осью Oy, т.е. x =0
f(0)=x4−5x2+4=04−5∗02+4=4
Координаты точки (0;4)
6. Находим интервалы возрастания и убывания функции.
Найдем первую производную
f′(x)=(x4−5x2+4)′=4x3−10x
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки (или стационарные точки)
4x3−10x=0=>x(4x2−10)=0=>⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢ x=0x=52−−√≈1.58x=−52−−√≈−1.58
Т.к. функция четная рассмотрим интервалы монотонности x∈(0;52−−√)∪(52−−√;+∞). Для определения монотонности найдем значение производной в любой точке интервала
интервал (0;52−−√) f′(1)=4x3−10x=4∗13−10∗1=−6<0 - функция убывает
интервал (52−−√;+∞) f′(10)=4∗103−10∗10=4000−100> 0 - функция возрастает.
7. Классифицируем критические точки (экстремумы или точками перегиба).
Изучаем изменение монотонности (знака производной) при переходе через критическую точку.
точка x=0, из симметрии видно, что слева производная больше нуля f′(x)>0 возрастает, справа меньше нуля f′(x)<0 убывает, т.е. знак меняется +0− - точка локального максимума (экстремум).Точка локального максимума имеет координаты (0;4)
точка x=52−−√, слева производная меньше нуля f′(x)<0 функция убывает , справа производная больше нуля f′(x)>0 функция возрастает, т.е. знак меняется −0+ - точка локального минимума (экстремум). Находим значение функции в этой точке f(52−−√)=(52−−√)4−5(52−−√)2+4=−94. Точка локального минимума имеет координаты (52−−√;−94)
8. Выпуклость. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба.
Для этого найдем вторую производную
f′′(x)=(4x3−10x)′=12x2−10
Приравняем вторую производную к нулю
12x2−10=0=>x=±56−−√≈±0,91
В силу симметрии рассматривать выпуклость будет на интервале x∈(0;56−−√)∪(56−−√;+∞).
найдем значение функции в этой точке f(56−−√)=(56−−√)4−5(56−−√)2+4=1936.
Находим значения второй производной на интервалах выпуклости и определяем выпуклость графика функции:
интервал (0;56−−√). f′′(0,1)=12∗0.12−10<0 график функции имеет выпуклость вверх (выпуклый).
интервал (56−−√;+∞). f′′(1)=12∗12−10>0 график функции имеет выпуклость вниз (вогнутый).
Получили, что при переходе через точку x=56−−√ вторая производная меняет знак (выпуклость), т.е это точка перегиба. Координаты точки перегиба (56−−√;1936)
9. Строим график функции в правой полуплоскости и симметрично отображаем его в левую полуплоскость и получаем следующий график
Лінійна функція зростає при {\displaystyle k>0}{\displaystyle k>0} та спадає при {\displaystyle k<0}{\displaystyle k<0}. Графіком лінійної функції є пряма лінія, що проходить через точку {\displaystyle M(0,b)}{\displaystyle M(0,b)} паралельно графіку функції {\displaystyle y=kx}{\displaystyle y=kx}. Якщо {\displaystyle k=0}{\displaystyle k=0}, графік лінійної функції є пряма, паралельна осі абсцис, що проходить через точку {\displaystyle b}{\displaystyle b} на осі ординат.[1]
Функція виду {\displaystyle y=kx}{\displaystyle y=kx} проходить через початок координат, і утворює з віссю абсцис кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту пропорційності {\displaystyle k}k.[2]
Пошаговое объяснение:
