Question

1.периметр правильного треугольника,вписанного в окружность,равен 12 см.найдите сторону правильного четырёхугольника ,вписанного в ту же окружность. 2.найдите длину окружности ,если площадь вписанного в нее правильного четырехугольника равна 128 см2. 3.найдите площадь кругового сектора,если градусная мера его дуги равна 135 градусов,а радиус круга равен 4 см.

Answer 1

1. сторона треугольника 4 см.  $R= \frac{a}{ \sqrt{3} }$
Радиус описанной окружности $R= \frac{4}{ \sqrt{3} }$
Правильный четырехугольник - это квадрат, диагональ которого является диаметром описанной окружности. Диагональ = $2* \frac{4}{ \sqrt{3} } = \frac{8}{ \sqrt{3} }$ см.
Сторона квадрата и его диагональ относятся как $1 : \sqrt{2}$
Значит сторона квадрата равна$\frac{8}{ \sqrt{3} } : \sqrt{2} = \frac{8}{ \sqrt{6} }$ см.

2. Если площадь вписанного квадрата 128 см^2 , то его диагональ равна $\sqrt{2*128} = 16$ см. В то же время диагональ - радиус описанной окружности. Значит длина окружности равна $16 \pi$

3. $S= \frac{ \pi R^{2} }{360^{o} } * \alpha$ , где α - величина центрального угла сектора круга. $S= \frac{ \pi * 4^{2}}{360^{o}} *135^{o}=6 \pi$ см^2