Question

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х^2+у^2=5 и прямой х+3у=7

Answer 1

X^2+y^2=5             х=7-3у 
х+3у=7                  (7-3у)^2+y^2=5

49-42y+9y^2+y^2=5
10y^2-42y+44=0
5y^2-21y+22=0
D=441-4*5*22=1
y1=(21-1)/10=2       =>     x1=7-3*2=1
y2=(21+1)/10=2,2   =>     x2=7-3*2,2=0,4
ответ: х1=1;          х2=0,4
            у1=2;          у2=2,2

это задание больше к алгебре

Answer 2

Для того чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой.

Уравнение окружности дано в виде x^2 + y^2 = 5. Это уравнение можно переписать в виде y^2 = 5 - x^2.

Теперь подставим это уравнение в уравнение прямой х + 3у = 7, получим x + 3(√(5 - x^2)) = 7.

Для удобства решения можно перенести все члены на одну сторону уравнения и получим уравнение вида:

x + 3√(5 - x^2) - 7 = 0.

Так как уравнение квадратное, можно применить к нему подходящую формулу решения квадратных уравнений.

Решим это уравнение:

1. Для начала, возведем все члены уравнения в квадрат:

(x + 3√(5 - x^2) - 7)^2 = 0^2.

2. Раскроем скобки:

x^2 + 6x√(5 - x^2) + 9(5 - x^2) - 14(x + 3√(5 - x^2)) + 49 = 0.

3. Упростим выражение:

x^2 + 6x√(5 - x^2) + 9(5 - x^2) - 14x - 42√(5 - x^2) + 49 = 0.

4. Сгруппируем члены с корнем:

x^2 + 6x√(5 - x^2) - 42√(5 - x^2) + 9(5 - x^2) - 14x + 49 = 0.

5. Перенесем все члены без корня на одну сторону уравнения:

(x^2 - 14x + 9(5 - x^2)) + (6x - 42 + 49)√(5 - x^2) = 0.

6. Упростим выражение:

-8x^2 - 8x + 51 + (6x + 7)√(5 - x^2) = 0.

7. Воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения:

D = (6x + 7)^2 - 4(-8x^2 - 8x + 51).

8. Раскроем скобки:

D = 36x^2 + 84x + 49 - 4(-8x^2 - 8x + 51).

D = 36x^2 + 84x + 49 + 32x^2 + 32x - 204.

D = 68x^2 + 116x - 155.

9. Теперь найдем значения для x с помощью формулы x = (-b ± √D) / 2a:

x = (-116 ± √(116^2 - 4 * 68 * -155)) / (2 * 68).

10. Вычислим дискриминант:

D = 116^2 - 4 * 68 * -155 = 13456.

11. Вставим значение дискриминанта в формулу для x:

x = (-116 ± √13456) / 136.

12. Извлечем квадратный корень из 13456:

√13456 ≈ 116.013.

Теперь есть два варианта для x:

1. x = (-116 + 116.013) / 136 ≈ 0.0001.
2. x = (-116 - 116.013) / 136 ≈ -1.707.

13. Подставим каждое значение x в уравнение прямой для нахождения значения y.

Для первого значения x ≈ 0.0001:

x + 3y = 7,
0.0001 + 3y = 7,
3y = 7 - 0.0001,
y = 6.9999 / 3,
y ≈ 2.333.

Первая точка пересечения окружности и прямой имеет координаты (0.0001, 2.333).

Для второго значения x ≈ -1.707:

x + 3y = 7,
-1.707 + 3y = 7,
3y = 7 + 1.707,
y = 8.707 / 3,
y ≈ 2.9023.

Вторая точка пересечения окружности и прямой имеет координаты (-1.707, 2.9023).

Итак, координаты двух точек пересечения окружности х^2+у^2=5 и прямой х+3у=7 примерно равны (0.0001, 2.333) и (-1.707, 2.9023).