Пошаговое объяснение:
1) 4+(7/4)*√(5¹¹/₄₉)=4-5*√(256/49)=4-(7/4)*(16/7)=4-7*16/(4*7)=4-4=0.
2)
14x²-5x-1=0 D=5²-4*14*(-1)=25+56=81. √D=9.
x₁=(5+9)/(2*14)=14/28=1/2.
x₂=(5-9)(2*14)=-4/28=-1/7.
ответ: x₁=1/2 x₂=-1/7.
3)
5/(x-2)+1=14/(x²-4x+4)
5/(x-2)+1=14/(x-2)²
Пусть x-2=t ⇒
(5/t)+1=14/t² |×t²
5t+t²=14
t²+5t-14=0 D=81 √D=9
t₁=x-2=2 x₁=4
t₂=x-2=-7 x₂=-5.
ответ: x₁=4 x₂=-5.
4)
9x⁴-40x²+16=0
Пусть x²=t≥0
9t²-40t+16=0 D=1024 √D=32
t₁=x²=4 x=√4 x₁=2 x₂=-2
t₂=x²=4/9 x=√(4/9) x₃=2/3 x₄=-2/3.
ответ: x₁=2 x₂=-2 x₃=2/3 x₄=-2/3.
5)
x*(x²-16)/(x²-9)≤0
x*(x²-4²)/(x²-3²)≤0
x*(x+4)*(x-4)/(x+3)*(x-3)≤0 ОДЗ: x+3≠0 x≠-3 x-3≠0 x≠3.
-∞__-__-4__+__-3__-__0__+__3__-__4__+__+∞
ответ: x∈(-∞;-4]U(-3;0]U(3;4].
6)
(6-x)/(x²+2x+5)≥0
(6-x)/(x²+2x+1+4)≥0
(6-x)/((x+1)²+4)≥0
Так как ((х+1)²+4)>0 ⇒
6-x≥0
x≤6.
ответ: x∈(-∞;6].
Найдём точку А пересечения заданных прямой и плоскости.
Подставим в уравнение плоскости значения переменных.
2*(3 + 5t) - 2*(-1 + t) + 3*(4 + t) - 5 = 0.
6 + 10t + 2 - 2t + 12 + 3t - 5 = 0.
11t + 15 = 0.
t = -15/11.
Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки А:
x(А) =3 + 5*(-15/11) = -42/11,
y(А) = -1 + (-15/11) = -26/11,
z(A) = 4 + (-15/11) = 29/11.
Теперь возьмём любую точку на заданной прямой и спроецируем её на плоскость с учётом того, что нормальный вектор плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Примем t = 2.
x(B) =3 + 5*2 = 13,
y(B) = -1 + 1*2 = 1,
z(B) = 4 + 1*2 = 6 .
Уравнение перпендикуляра ВВ1 к плоскости из точки В:
(x - 13)/2 = (y - 1)/(-2) = (z - 6)/3 = t.
x = 2t + 13,
y = -2t + 1,
z = 3t + 6.
Подставим в уравнение плоскости и получим координаты проекции точки В на заданную плоскость.
2*(13 + 2t) - 2*(1 - 2t) + 3*(6 + 3t) - 5 = 0.
26 + 4t - 2 + 4t + 18 + 9t - 5 = 0.
17t + 37 = 0.
t = -37/17.
Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки В1:
x(В1) =3 + 5*(-37/17) = 147/17,
y(В1) = -1 + (-37/17) = 91/17,
z(В1) = 4 + (-37/17) = -9/17.
Теперь по двум точкам (А и В1) на заданной плоскости находим уравнение проекции прямой.
Вектор АВ1:
x(AB1) = (147/17) - (-42/11) = 2331/187.
y(АB1) = (91/17)) - (-26/11) = 1443/187.
z(AВ1) = (-9/17) - (29/11) = -592/187.
Уравнение АВ1:
(x - (-42/11))/(2331/187) = (y - (-26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).
ответ: уравнение проекции прямой на плоскость имеет вид
(x + (42/11))/(2331/187) = (y + (26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).
