Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями: 1.y=x^2, x+y=6,y=0 2.x+y=2,y=x^3,y=0 3.y^2=8x,y=2x

Answer 1

1. Постройте графики функций Так чтобы сориентироваться, можно загуглить "y = x^2, y = 6 - x" он покажет как они должны выглядеть. Третья прямая совпадает с осью Оу. Будет видно, что для того чтобы найти площадь нужно из площади под треугольником (который ограничивается прямыми y = 6 - x, y = 0, y = 2, x = 0 вычесть площадь под графиком параболы на отрезке [0; 2], а для этого нужно из интеграла y = 6 - x от 0 до точки пересечения графиков вычесть интеграл x^2 на том же самом промежутке. Посчитать точку пересечения вы можете, как решение уравнения x^2 = 6 - x, из двух решений понятно что нам подойдёт решение 2. значит ответом на эту задачу является
   
$\int\limits^2_0 {6 - x} \, dx - \int\limits^2_0 {x^2} \, dx = \int\limits^2_0 {(6 - x - x^2)} \, dx 2$
 
2. Аналогично строите графики, видите, что вы сможете посчитать площадь как разницу площадей под графиками y = 2 - x и y = x^3 от 0 до точки их пересечения, как нетрудно проверить, в точке 1. По полной аналогии с пунктом 1 ответом будет являться
 
$\int\limits^1_0 {2 - x} \, dx - \int\limits^1_0 {x^3} \, dx = \int\limits^2_0 {(2 - x - x^3)} \, dx$

3. Здесь выражать y довольно неудобно, в принципе можно "перевернуть" оси координат и выразить всё через x. x = y^2/8, x = y/2 можете даже проверить, выразить можно и через y, будет тоже самое: y = sqrt(8x), y = -sqrt(8x), y = 2x и площади, ограниченные линиями тоже будут равными давайте возьмём выраженные через x функции, поскольку там гораздо удобнее считать площадь. Они пересекаются в точке 4 (находится аналогично) ответом является разность площадей под графиками на промежутке от 0 до 4 (также по полной аналогии)

$\int\limits^4_0 { \frac{x}{2} } \, dx - \int\limits^4_0 { \frac{x^2}{8}} \, dx = \int\limits^4_0 {(\frac{x}{2} - \frac{x^2}{8})} \, dx$  
 
Ну а дальше все интегралы досчитываете и получаете ответ