Question

Найдите все значения a, при которых уравнение имеет ровно два решения. (log7(2x+2a)-log7(2x+2a))^2-8a(log7(2x+2a)-log7(2x-2a)+12a^2+8a-4=0

Answer 1

ОДЗ:
{x>a
{x>-a
Проведем замену $log_7 \frac{x+a}{x-a} =t$ и получим уравнение
t²-8at+12a²+8a-4=0
D=(4a-4)². Случай когда D=0 (a=1) нам не подходит, отметим это, во всех остальных случаях
t1=6a-2
t2=2a+2
Теперь вернемся к замене
$log_7 \frac{x+a}{x-a} =6a+2$
$log_7 \frac{x+a}{x-a} =6a+2$
Найдем x из первого уравнения:
$\frac{x+a}{x-a} =7^{6a-2}=b \\ x+a=7^{6a-2}x-7^{6a-2}a \\ x(1-7^{6a-2})=-a(1+7^{6a-2}) \\ x_1= \frac{-a(1+7^{6a-2})}{1-7^{6a-2}} = \frac{a(7^{6a-2}+1)}{7^{6a-2}-1}$
Проделав такую же штуку со вторым уравнением получим
x_2=\frac{a(7^{2a+2}+1)}{7^{2a+2}-1}
Нам нужно чтобы оба корня были решениями, то есть чтобы они принадлежали ОДЗ.
Если а<0, то система которую я записал в самом начале равносильна неравенству x>-a
Нам нужно чтобы оба корня принадлежали одз одновременно
Решаем систему:
{a<0
{x₁>-a
{x₂>-a
В этом случае получаем a<-1.
Пусть теперь а>0, тогда система будет такая
{a>0
{x₁>a
{x₂>a
Получаем а>1/3. Вспоминаем что a≠1 и объединяем решения.
ответ: a∈(-oo; -1)∪(1/3; 1)∪(1;+oo)