Question

Случайным образом выбираются три различные вершины одиннадцатиугольной призмы. какова вероятность того, что плоскость, проходящая через эти три вершины, содержит какие-либо точки строго внутри призмы? ответ округлите до сотых

Answer 1

Решим задачу в общем случае. Обозначим число сторон в основании призмы за n. Тогда призма имеет n граней и 2n вершин.
Вероятность рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Найдем общее число исходов: выбрать 3 вершины из 2n имеющихся можно $C_{2n}^3$
Найдем число благоприятных исходов как разность общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов. Общее число исходов известно, теперь находим число неблагоприятных исходов.
Если все выбранные вершины лежат на боковой грани или на основании, то образовавшееся сечение не будет содержать точек строго внутри призмы. Число выбрать три вершины боковой грани равно $n\cdot C_4^3=4n$, так как призма имеет n боковых граней, и в каждой грани расположено 4 вершины. Число выбрать три вершины основания равно $2\cdot C_n^3$, так как призма имеет всего два основания и в каждом из этих оснований расположено n вершин.
Получаем общее число неблагоприятных исходов: $4n+2C_n^3$. Тогда число благоприятных исходов равно $C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)$.
Находим искомую вероятность:
$P(A)= \dfrac{C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)}{C_{2n}^3} =1- \dfrac{4n+2C_n^3}{C_{2n}^3}$
Для одиннадцатиугольной призмы, то есть для n=11, получаем:
$P(A)= 1- \dfrac{4\cdot11+2C_{11}^3}{C_{22}^3} =1- \dfrac{44+2\cdot \frac{11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3} }{ \frac{22\cdot21\cdot20}{1\cdot2\cdot3} } = 1- \dfrac{44+11\cdot10\cdot3 }{11\cdot7\cdot20 } = \\\ =1- \dfrac{44+330 }{1540} =1- \dfrac{374}{1540} =\dfrac{1166}{1540}=\dfrac{53}{70} \approx0.76$
ответ: 0.76