Question

Вравнобедренную трапецию авсд с большим основанием ад вписана окружность с центром о и проведена высота сн. а) докажите, что ан=ав. б) найдите диагональ ас, если известно, что средняя линия трапеции равна 4 корень из 5, а угол аод=150 градусам

Answer 1

1) 
В четырёхугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны. АВ+СД=ВС+АД
СН и ВН1 - высоты трапеции.  Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СД  АН1=ДН  АН=ВС+АН1
АВ+АВ= ВС+ВС+АН1+НД  2*АВ=2*ВС+2*АН1  /2     АВ=ВС+АН1=АН
2)
(АД+ВС)/2=4*√5   (АВ+СД)/2=4*√5  В равнобедренной трапеции АВ=СД=4*√5
Из точки С опустим перпендикуляр СН к стороне АД. АВ=АН=4*√5
Найдём СН     
Угол АОД=150 Опустим перпендикуляр ОК из точки О к основания АД.
Угол ДОК=150/2=75 Треугольник ДОК прямоугольный, угол ОДА=180-90-75=15 ОД-биссектриса (центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис), угол СДА=2*15=30
Рассмотрим треугольник СНД СН=1/2СД, как катет лежащий против
 угла 30.  СН=2*√5
Рассмотри треугольник АСН, он прямоугольный СН-высота АН=4*√5
По теореме Пифагора АС=√АН^2+СН^2=√100=10