8. в правильную четырехугольную усеченную пирамиду abcda’b’c’d’, площадь верхнего основания которой a’b’c’d’ в 9 раз меньше площади нижнего основания abcd, вписан шар радиуса 1. найти площадь основания abcd.
Если площади оснований относятся как 9:1, то их стороны относятся как 3:1. Пусть А₁В₁ = х, тогда АВ = 3х. Рассмотрим сечение KK₁M₁M, проходящее через середины соответствующих ребер. Сечение шара - круг, вписанный в равнобедренную трапецию, значит, суммы ее противоположных сторон равны. Т. е. KM = 3x, K₁M₁ = x, KK₁ = MM₁ = 2x. M₁H = 2 (диаметр шара) MH = (KM - K₁M₁)/2 = x ΔM₁HM: MM₁² = MH² + M₁H² (2x)² = x² + 4 3x² = 4 x = 2√3/3 AB = 3x = 2√3 Sabcd = AB² = 12
Исходя из условий задачи можно утверждать точно, что: Условие 1. Все 5 внуков получили пирожки; Условие 2: Каждый внук получил не меньше 1 пирожка.
Что может быть верно? А) кто-то то получил 6 пирожков , а кто-то то - 2. 10 ( пирожков всего) - 6 (получил кто-то из 5 внуков)=4 (пирожка осталось). Значит остальные 4 внука должны получить как минимум по 1 пирожку (4*1=4). Значит 2 пирожка не смог бы получить никто. ОТВЕТ: НЕВЕРНО
Б) Четыре внука получили по 1 пирожку 4 (внука)*1 (по одному пирожку)=4 (пирожка), а пятый внук мог получить от одного до шести пирожков (по желанию). ответ: ВЕРНО.
В) Два внука получили по 4 пирожка. 2 *4 = 8 пирожков получили два внука. Значит, 10-8=2 пирожка нужно разделить на трех внуков (2:3<1). Не соответствует условию 2, ведь каждый внук получил как минимум по 1 пирожку. ответ: НЕВЕРНО.
Г) Три внука получили по 3 пирожка. 3*3=9 пирожков. Остальные два внука (5-3=2) получили 1 пирожок на двоих. Не соответствует второму условию. ответ: НЕВЕРНО.
Д) Ровно четыре внука получили по 2 пирожка. Не соответствует первому условию, все 5 внуков получили пирожки, а не только (ровно) 4 внука. ответ: НЕВЕРНО.
Единственный верный вариант: Б) Четыре внука получили по 1 пирожку
Исходя из условий задачи можно утверждать точно, что: Условие 1. Все 5 внуков получили пирожки; Условие 2: Каждый внук получил не меньше 1 пирожка.
Что может быть верно? А) кто-то то получил 6 пирожков , а кто-то то - 2. 10 ( пирожков всего) - 6 (получил кто-то из 5 внуков)=4 (пирожка осталось). Значит остальные 4 внука должны получить как минимум по 1 пирожку (4*1=4). Значит 2 пирожка не смог бы получить никто. ОТВЕТ: НЕВЕРНО
Б) Четыре внука получили по 1 пирожку 4 (внука)*1 (по одному пирожку)=4 (пирожка), а пятый внук мог получить от одного до шести пирожков (по желанию). ответ: ВЕРНО.
В) Два внука получили по 4 пирожка. 2 *4 = 8 пирожков получили два внука. Значит, 10-8=2 пирожка нужно разделить на трех внуков (2:3<1). Не соответствует условию 2, ведь каждый внук получил как минимум по 1 пирожку. ответ: НЕВЕРНО.
Г) Три внука получили по 3 пирожка. 3*3=9 пирожков. Остальные два внука (5-3=2) получили 1 пирожок на двоих. Не соответствует второму условию. ответ: НЕВЕРНО.
Д) Ровно четыре внука получили по 2 пирожка. Не соответствует первому условию, все 5 внуков получили пирожки, а не только (ровно) 4 внука. ответ: НЕВЕРНО.
Единственный верный вариант: Б) Четыре внука получили по 1 пирожку
Пусть А₁В₁ = х, тогда АВ = 3х.
Рассмотрим сечение KK₁M₁M, проходящее через середины соответствующих ребер. Сечение шара - круг, вписанный в равнобедренную трапецию, значит, суммы ее противоположных сторон равны. Т. е. KM = 3x, K₁M₁ = x, KK₁ = MM₁ = 2x. M₁H = 2 (диаметр шара)
MH = (KM - K₁M₁)/2 = x
ΔM₁HM: MM₁² = MH² + M₁H²
(2x)² = x² + 4
3x² = 4
x = 2√3/3
AB = 3x = 2√3
Sabcd = AB² = 12