Question

Парабола с вершиной, лежащей на оси oy, касается прямой, проходящей через точки a(-1; 1) и b(1; 5), в точке b. найти уравнение параболы.

Answer 1

A(-1;1), B(1;5)
уравнение пряммой проходящей через две точки
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
$\frac{x-(-1)}{1-(-1)}=\frac{y-1}{5-1}$
$\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{4}$
$2(x-1)=y-1$
$y-1=2x+2$
$y=2x+2+1$
$y=2x+3$

$y=f(x)$
уравнение касательной в точке (x_0; y_0)
$y'=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
$f'(x)=k=2$
$x_0=1$
$f(x_0)=y(_0)=2*1+3=5$
$y=ax^2+bx+c$

$y(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=5$

$y'=2ax+b$
$y'(1)=k=2*a*1+b=1$
$2a+b=2$

координаты вершины параболы
$x_C=-\frac{b}{2a}; y_C=c-\frac{b^2}{4a}$
с учетом что вершина лежит на оси Oy получаем
$x_C=0$
$-\frac{b}{2a}=0$
$b=0$

$b=0$
$a+b+c=5$
$2a+b=2$

$b=0$
$a+c=5$
$2a=2$

$a=1; b=0; c=4$
уравнение параболы
$y=x^2+4$