ответ: y=e^x.
Пошаговое объяснение:
Перед нами - ДУ Бернулли, где n=2. Полагаем y=u*v ⇒u'=y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'+x*u*v=(1+x)*e^(-x)*u²*v², или v*(u'+x*u)+u*v'=(1+x)*e^(-x)*u²*v². Так как одну из функций u или v мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'+x*u=0. Решая это ДУ, находим u=e^(-x²/2). Тогда уравнение принимает вид e^(-x²/2)*v'=(1+x)*e^(-x)*e^(-x²)*v², или v'=(1+x)*e^-(x²/2+x)*v². Деля обе части на v² и заменяя v на dv/dx, получаем уравнение dv/v²=(1+x)*e^-(x²/2+x)*dx. А так как (1+x)*dx=d(x²/2+x), то получаем уравнение dv/v²=e^-(x²/2+x)*d(x²/2+x). Интегрируя, находим -1/v=-e^-(x²/2+x)+С, или v=e^(x+x²/2)+C1, где C и C1 - произвольные постоянные. Тогда y=u*v=e^x+C1*e^(-x²/2). Используя условие y(0)=1, приходим к уравнению 1=1+C1, откуда C1=0. Отсюда искомое частное решение y=e^x.
Сначала мы пишем характеристическое уравнение y`-4y`+4y=0, и здесь мы делаем замену y=e^(kx), и после вывода мы получаем уравнение: k^2-4k+4=0, (k-2)^2=0, k1=k2=2, и поэтому частные решения y1= e^(2x) и y2=x*e^(2x), а общее решение соответствующего однородного уравнения-y(p)=C1*e^(2x)+C2*x*e^(2x).). Теперь мы решаем систему для определения C1 и C2:
{{C1`*y1+C2`*y2=0 , {e^(2x)*C1`+x*e^(2x)*C2`=0 , {C2`=-sin(4 x) , {C2=(cos(4 x))/4 + D2
{{C1`*y1`+C2`*y2`=-e^(2x)*sin(4x) {2 e^(2 x)*C1+2x*e^(2x)*C2+e^(2x)*C2=-e^(2x)*sin(4x) {C1`=-x*C2` {C1`=-x*sin(4x)
{C2=(cos(4x))/4+D2
{{C1=-(x*cos(4 x))/4 + (sin(4 x))/16 + D1, где D1 и D2-константы.
Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения y=(-(x*cos(4x))/4 + (sin(4 x))/16 + D1 )*e^*(2x) + ((cos(4x))/4+D2)*x*e^(2x)
