Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знание о взаимном расположении сторон и углов в тетраэдре.
Для начала, давайте определим понятие двугранного угла в тетраэдре. Двугранный угол в тетраэдре - это угол между двумя ребрами, исходящими из одной вершины.
По условию задачи, у нас имеется тетраэдр с ребрами ав, ас, vs и ad. Длины данных ребер также известны.
Для нахождения величины двугранного угла при ребре ав, мы должны знать длины двух ребер, к которым он относится. В нашем случае, это ребра ав и vs.
Давайте посмотрим на тетраэдр и обозначим найденные значения:
1. Сколько можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?
Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 5 (количество плиток шоколада), k = 3 (количество выбираемых плиток). Подставляя значения в формулу, получаем:
С(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = (5*4*3!) / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10
Ответ: можно выбрать 10 различных комбинаций плиток шоколада.
2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, 4, 5?
Для составления трехзначных чисел из данных цифр, мы можем использовать формулу для нахождения количества размещений по k элементов из n элементов:
A(n, k) = n! / (n-k)!
В данном случае, n = 5 (количество чисел), k = 3 (количество разрядов в трехзначном числе). Подставляя значения в формулу, получаем:
A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3*2*1 / 2*1 = 60
Ответ: можно составить 60 различных трехзначных чисел.
3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.
Для нахождения всех сочетаний по две буквы из трех, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 3 (количество букв), k = 2 (количество выбираемых букв). Подставляя значения в формулу, получаем:
С(3, 2) = 3! / (2!(3-2)!) = 3! / (2!*1!) = (3*2*1) / (2*1) = 3
Ответ: можно составить 3 различных сочетания по две буквы.
4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими это можно сделать?
Для нахождения количества возможных способов выбрать двух дежурных из 20 учащихся, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 20 (количество учащихся), k = 2 (количество выбираемых учащихся). Подставляя значения в формулу, получаем:
С(20, 2) = 20! / (2!(20-2)!) = 20! / (2!*18!) = (20*19) / (2*1) = 190
Ответ: можно выбрать 190 различных комбинаций двух дежурных из 20 учащихся.
5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими это можно сделать?
Для нахождения количества возможных способов составить букет с 2 розами и 3 георгинами из 10 роз и 8 георгинов, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 10 (количество роз), k = 2 (количество выбираемых роз). Подставляя значения в формулу, получаем количество возможных комбинаций с 2 розами:
С(10, 2) = 10! / (2!(10-2)!) = 10! / (2!*8!) = (10*9) / (2*1) = 45
Аналогично, для георгинов, n = 8 (количество георгинов), k = 3 (количество выбираемых георгинов):
С(8, 3) = 8! / (3!(8-3)!) = 8! / (3!*5!) = (8*7*6) / (3*2*1) = 56
Поскольку розы и георгины выбираются независимо, чтобы найти общее количество возможных комбинаций, умножим количество комбинаций роз на количество комбинаций георгинов:
45 * 56 = 2520
Ответ: можно составить 2520 различных букетов из 10 роз и 8 георгинов, где 2 розы и 3 георгина.
6. Сколькими можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?
Поскольку первый и второй тома энциклопедии должны стоять рядом, мы можем считать их как одну большую единицу. Тогда у нас будет 7 объектов (7+1=8) для расстановки на книжной полке. Количество возможных способов для расстановки 7 объектов на места равно факториалу числа 7:
7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040
Ответ: можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке 5040 различными способами.
7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими можно выбрать из них 4 пары для танца?
Для нахождения количества возможных способов выбрать 4 пары для танца, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 27 (количество присутствующих на вечере), k = 4 (количество пар для танца). Подставляя значения в формулу, получаем:
С(27, 4) = 27! / (4!(27-4)!) = 27! / (4!*23!) = (27*26*25*24) / (4*3*2*1) = 17550
Ответ: можно выбрать 17 550 различных пар для танца из 27 присутствующих на вечере.
8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?
Для нахождения количества возможных способов составить посылку из 3 книг и 5 журналов из имеющихся 10 книг и 15 журналов, мы можем использовать формулу для нахождения количества сочетаний по k элементов из n элементов:
С(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n = 10 (количество книг), k = 3 (количество выбираемых книг). Подставляя значения в формулу, получаем количество возможных комбинаций книг:
С(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!) = 10! / (3!*7!) = (10*9*8) / (3*2*1) = 120
Аналогично, для журналов, n = 15 (количество журналов), k = 5 (количество выбираемых журналов):
С(15, 5) = 15! / (5!(15-5)!) = 15! / (5!*10!) = (15*14*13*12*11) / (5*4*3*2*1) = 3,003
Поскольку книги и журналы выбираются независимо, чтобы найти общее количество возможных комбинаций, умножим количество комбинаций книг на количество комбинаций журналов:
120 * 3,003 = 360,360
Ответ: можно составить 360,360 различных посылок из 3 книг и 5 журналов.
9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?
В данной задаче, находим вероятность правильно угадать три последние цифры номера телефона. Известно, что у нас имеется 3 возможные варианта для каждой из трех последних цифр (1, 5 и 9). Вероятность правильно угадать одну цифру равна 1/3, поскольку у нас есть 3 возможных варианта и один из них является верным. Поскольку одну цифру он уже набрал правильно, нам нужно угадать две оставшиеся цифры. Вероятность правильно угадать вторую цифру также равна 1/3, и вероятность правильно угадать третью цифру также равна 1/3. Чтобы найти вероятность, что все три цифры угаданы правильно, мы умножаем вероятности каждой цифры:
1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/27
Ответ: вероятность того, что Антон набрал верный номер, составляет 1/27.
10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?
Для нахождения вероятности того, что к доске будут вызваны двое учащихся и оба из них являются девушками, мы должны учесть общее количество возможных комбинаций и сколько из них удовлетворяют нашему условию.
Общее количество возможных комбинаций выбора двух учащихся из 30 равно:
C(30
